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#1 27-02-2021 10:00:36
- Touaa Maria
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Théorème Des Accroissements Finis
BONJOUR ,
J'aurais besoin d'un petit coup de main svp
j'ai un exercice sur le T.A.F qui dit:
Soit f continue, deux fois dérivable sur [a, a+h]. Montrer qu'il existe α dans ]0, 2[ tel que
f(a + 2h) − 2f(a + h) + f(a) = h²f''(a + αh).
(On pourra par exemple introduire la fonction g(t) = f(a + t + h) − f(a + t).
voila ce que j'ai pu faire pour le moment :
g est continue et derivable sur [0,h].En appliquant T.A.F sur g :
il existe un c dans [0,h] tel que:
g(h)-g(0)=(f(a + 2h) − 2f(a + h) + f(a))
=hg'(c)
=h(f'(c+a+h)-f'(a+c))
mon prblm c'est que je n'est pas su comment aarrive a la derniere inegalite en appliquant T.A.F sur la fonction f'
merci :))
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#2 27-02-2021 10:05:45
- Roro
- Membre expert
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Re : Théorème Des Accroissements Finis
Bonjour,
Tu es sur la bonne piste : applique ensuite le théorème des accroissements finis à f' et tu trouveras l'existence de $d\in[c,c+h]$. Puisque $c\in [0,h]$ tu dois pouvoir dire que $d$ est bien de la forme cherchée...
Roro.
P.S. Essaye de faire un effort sur l'orthographe pour que ce soit à peu. près lisible...
Dernière modification par Roro (27-02-2021 10:06:34)
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#3 27-02-2021 10:48:31
- Touaa Maria
- Membre
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- Messages : 8
Re : Théorème Des Accroissements Finis
D'accord,
En appliquant le théorème des accroissement finis pour la fonction f'
on a : il existe un d dans [c+a, c+a+h] (et c € [0,h]) tel que :
f '(c+a+h)-f '(c+a) =hf "(d)
h( f'(c+a+h)-f'(c+a))= h²f "(d)
f(a + 2h) − 2f(a + h) + f(a)) =h²f "(d)
mais comment montrer que pour un α dans ]0, 2[
(f(a + 2h) − 2f(a + h) + f(a)) =h²f "(a+αh)
A partir de cette égalité
f(a + 2h) − 2f(a + h) + f(a)) =h²f "(d)
(je m'excuse pour l’orthographe c'est vrai que ce n'est pas très lisible )
encore merci
Dernière modification par Touaa Maria (27-02-2021 11:33:49)
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#4 27-02-2021 11:54:25
- Roro
- Membre expert
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- Messages : 1 565
Re : Théorème Des Accroissements Finis
Re-bonjour,
Si je résume ce que tu as écris :
Tu as $0\leq c \leq h$ puis $c+a\leq d \leq c+a+h$.
Es-tu d'accord que ça implique que $a \leq d \leq a + 2h$ ?
Ceci doit te permettre de conclure...
Roro.
Dernière modification par Roro (27-02-2021 11:55:06)
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#5 27-02-2021 12:17:31
- Touaa Maria
- Membre
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- Messages : 8
Re : Théorème Des Accroissements Finis
AAH!!
oui c'est bon!! donc si a≤d≤a+2h donc d=a+αh forcement pour un α dans ]0, 2[ .
merci infiniment :))
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