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#1 27-02-2021 08:00:36

Touaa Maria
Membre
Inscription : 26-01-2021
Messages : 8

Théorème Des Accroissements Finis

BONJOUR ,
J'aurais besoin d'un petit coup de main svp
j'ai un exercice sur le T.A.F qui dit:


    Soit f continue, deux fois dérivable sur [a, a+h]. Montrer qu'il existe α dans ]0, 2[ tel que
    f(a + 2h) − 2f(a + h) + f(a) = h²f''(a + αh).
   (On pourra par exemple introduire la fonction g(t) = f(a + t + h) − f(a + t)
.
voila ce que j'ai pu faire pour le moment :

          g est continue et derivable sur [0,h].En appliquant T.A.F sur g :

          il existe un c dans [0,h] tel que: 
                                                  g(h)-g(0)=(f(a + 2h) − 2f(a + h) + f(a))
                                                                =hg'(c)
                                                                =h(f'(c+a+h)-f'(a+c))


          mon prblm c'est que je n'est pas su comment aarrive a la derniere inegalite en appliquant T.A.F sur la fonction f'
                                                                                                                                    merci :))

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#2 27-02-2021 08:05:45

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 059

Re : Théorème Des Accroissements Finis

Bonjour,

Tu es sur la bonne piste : applique ensuite le théorème des accroissements finis à f' et tu trouveras l'existence de $d\in[c,c+h]$. Puisque $c\in [0,h]$ tu dois pouvoir dire que $d$ est bien de la forme cherchée...

Roro.

P.S. Essaye de faire un effort sur l'orthographe pour que ce soit à peu. près lisible...

Dernière modification par Roro (27-02-2021 08:06:34)

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#3 27-02-2021 08:48:31

Touaa Maria
Membre
Inscription : 26-01-2021
Messages : 8

Re : Théorème Des Accroissements Finis

D'accord,
    En appliquant  le théorème des accroissement finis pour la fonction f'
on a : il existe un  d dans [c+a, c+a+h]  (et c € [0,h]) tel que :
   
                                  f '(c+a+h)-f '(c+a) =hf "(d)
                             
                              h( f'(c+a+h)-f'(c+a))= h²f "(d)
                     
                          f(a + 2h) − 2f(a + h) + f(a)) =h²f "(d)

mais comment montrer que pour un α dans ]0, 2[
           
                        (f(a + 2h) − 2f(a + h) + f(a)) =h²f "(a+αh)

  A partir de cette égalité   

                        f(a + 2h) − 2f(a + h) + f(a)) =h²f "(d)
               
                         
(je m'excuse pour l’orthographe c'est vrai que ce n'est pas très lisible  )
                                                                                                                    encore merci

Dernière modification par Touaa Maria (27-02-2021 09:33:49)

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#4 27-02-2021 09:54:25

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 059

Re : Théorème Des Accroissements Finis

Re-bonjour,

Si je résume ce que tu as écris :

Tu as $0\leq c \leq h$ puis $c+a\leq d \leq c+a+h$.

Es-tu d'accord que ça implique que $a \leq d \leq a + 2h$ ?

Ceci doit te permettre de conclure...

Roro.

Dernière modification par Roro (27-02-2021 09:55:06)

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#5 27-02-2021 10:17:31

Touaa Maria
Membre
Inscription : 26-01-2021
Messages : 8

Re : Théorème Des Accroissements Finis

AAH!!
oui c'est bon!! donc si      a≤d≤a+2h  donc d=a+αh forcement  pour un α dans ]0, 2[ .
                                                               
                                                                                                                             merci infiniment :))

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