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#1 24-02-2021 19:05:51

Lili066
Membre
Inscription : 07-02-2021
Messages : 21

Changement de base / applications linéaires

Bonjour à tous !

Je m'entraîne sur un exercice de changement de bases, sur des applications linéaires. J'ai bien avancé, mais je bloque sur la dernière question. Voici le sujet ainsi que mes réponses :

ps : pour les premières questions je ne mets pas toutes les démarches, car je pense avoir juste

On appelle [tex]B=(\vec{e_1}, \vec{e_2} )[/tex] la base canonique de [tex]R^{2}[/tex] et B' la base formée des vecteurs [tex]\vec{e'_1}=(1,3), \vec{e'_2}=(1,2).[/tex]

Soit [tex]\vec{u}[/tex] un vecteur de [tex]R^{2}[/tex]. On note (x,y) ses coordonnées dans B et (X,Y) ses coordonnées dans B'.

Soit [tex]B=(\vec{e_1}, \vec{e_2} )[/tex][tex]f : \left\lbrace\begin{matrix} R^{2} \rightarrow R^{2}& \\ (x,y) \rightarrow (4x-y,6x-y) & \end{matrix}\right.[/tex]

On notera U et V les vecteurs colonne représentant [tex]\vec{u}[/tex] et [tex]f(\vec{u})[/tex] dans la base B.
On notera U' et V' les vecteurs colonne représentant [tex]\vec{u}[/tex] et [tex]f(\vec{u})[/tex] dans la base B'.


i) Changement de base d'un vecteur :


a) Déterminer la matrice de passage P, de B à B'.


[tex]P_{B\rightarrow B'} =\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 1\\ 3& 2 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]


b) En déduire la matrice de passage de B’ à B.


[tex]P_{B'\rightarrow B}=P^{-1}= \bigl(\begin{smallmatrix} -2 & 1\\ 3& -1 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]


c) Soit [tex]\vec{u}[/tex] de coordonnées (x = 2, y = 5) dans B. Déterminer ses coordonnées (X,Y) dans B’.

[tex]U' = P^{-1}.U=\bigl(\begin{smallmatrix} -2 &1 \\ 3& -1 \end{smallmatrix}\bigr) . \bigl(\begin{smallmatrix} 2\\ 5 \end{smallmatrix}\bigr) = \bigl(\begin{smallmatrix} 1\\ 1 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]


ii) Représentation matricielle de f :


a) Déterminer A, représentation matricielle de f dans la base B.

[tex]A=M_{BB'}(f)=\bigl(\begin{smallmatrix} 4 & -1 \\ 6&-1 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]

b) Calculer V et f([tex]\vec{u}[/tex]) de deux méthodes : analytique ou matricielle.

[tex]M_{B'}(\vec{v})=M_{BB'}(f).M_{B}(\vec{v}) = \bigl(\begin{smallmatrix} 3\\ 7 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]


iii) Changement de base de f :

a) Déterminer A′, représentation matricielle de f dans la base B′.

[tex]A'=P^{-1}.A.P = \bigl(\begin{smallmatrix} -2 &1 \\ 3& -1 \end{smallmatrix}\bigr) . \bigl(\begin{smallmatrix} 4 &-1 \\ 6& -1 \end{smallmatrix}\bigr) . \bigl(\begin{smallmatrix} 1 &1 \\ 3& 2 \end{smallmatrix}\bigr) = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 &0 \\ 0& 2 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]

b) Déterminer V’.
c) Justifier que V et V’ représentent bien le même f([tex]\vec{u}[/tex]) .

C'est à partir de ces deux questions que j'ai un doute, je pense avoir mal compris quelque chose. Pour la b, je pense peut-être à faire :


[tex]V'=A'.\bigl(\begin{smallmatrix} 3\\ 7 \end{smallmatrix}\bigr)= \bigl(\begin{smallmatrix} 3\\ 14 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]

Mais je ne sais pas si c'est juste, et je n'arrive pas à "voir" la logique qui permet de répondre à la question c).

Dernière modification par Lili066 (24-02-2021 22:55:06)

Hors ligne

#2 24-02-2021 21:04:12

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 912

Re : Changement de base / applications linéaires

Bonjour Lili,

  Difficile de t'aider, car à partir de la question i) c), il y a plein de points d'interrogation qui empêchent de lire...

F.

Hors ligne

#3 24-02-2021 22:56:10

Lili066
Membre
Inscription : 07-02-2021
Messages : 21

Re : Changement de base / applications linéaires

Mince ... J'ai mal tapé le LaTex. Je viens de corrigé ...

Hors ligne

#4 25-02-2021 10:05:11

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 912

Re : Changement de base / applications linéaires

Bonjour,

Je vais quand même reprendre quelques points que tu as écris.

Lili066 a écrit :

a) Déterminer A, représentation matricielle de f dans la base B.

[tex]A=M_{BB'}(f)=\bigl(\begin{smallmatrix} 4 & -1 \\ 6&-1 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]

Je ne comprends pas pourquoi tu écris $M_{BB'}(f)$. Il s'agit de $M_{BB}(f)$, la matrice de $f$ dans la base B au départ et à l'arrivée.

b) Calculer V et f([tex]\vec{u}[/tex]) de deux méthodes : analytique ou matricielle.

[tex]M_{B'}(\vec{v})=M_{BB'}(f).M_{B}(\vec{v}) = \bigl(\begin{smallmatrix} 3\\ 7 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]

Ici aussi, on a $V=M_B(f(\vec {u}))$ : $V$ est le vecteur colonne des coordonnées de $f(\vec {u})$ dans la base $B$.
Et la relation est $V=M_B(f(\vec {u}))=M_{BB}(f) M_B(\vec{u})$.

b) Déterminer V’.
c) Justifier que V et V’ représentent bien le même f([tex]\vec{u}[/tex]) .

C'est à partir de ces deux questions que j'ai un doute, je pense avoir mal compris quelque chose. Pour la b, je pense peut-être à faire :


[tex]V'=A'.\bigl(\begin{smallmatrix} 3\\ 7 \end{smallmatrix}\bigr)= \bigl(\begin{smallmatrix} 3\\ 14 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]

Mais je ne sais pas si c'est juste, et je n'arrive pas à "voir" la logique qui permet de répondre à la question c).

Non, ce n'est pas juste. La relation que tu fois utiliser est la même que celle de la question (i)(b), mais avec la base $B'$ : à savoir
$V'=M_{B'}(f(\vec {u}))=M_{B'B'}(f) M_B'(\vec{u})$ c'est-à-dire $V'=A'U'$.

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#5 25-02-2021 17:26:13

Lili066
Membre
Inscription : 07-02-2021
Messages : 21

Re : Changement de base / applications linéaires

Merci pour ta réponse, j'ai maintenant compris grâce à toi :)

Bonne soirée

Dernière modification par Lili066 (25-02-2021 17:26:27)

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