Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 24-02-2021 23:48:36

Quentintin
Invité

système d'equations différentielles

Bonsoir

Ma question est la suivante: comment résoudre ce système? Normalement la solution ne devrait pas être compliquée, ça vient d'un exercice de physique :p


aX(t) = Y'(t)
aY(t) = X'(t) + cste


merci d'avance

#2 25-02-2021 06:56:29

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 059

Re : système d'equations différentielles

Bonjour,

Comment sais-tu que ça ne doit pas être compliqué ? Qu'as-tu essayé ? Et si ce n'est pas compliqué, pourquoi n'as-tu pas conclu ?

Une indication. : sais-tu résoudre l'équation différentielle $X''(t)-a^2X(t)=0$ ?


Roro.

Dernière modification par Roro (25-02-2021 06:57:01)

Hors ligne

#3 25-02-2021 16:30:02

Quentintin
Invité

Re : système d'equations différentielles

bonjour et merci pour votre réponse

Je sais résoudre les equations différentielles du second ordre, mais ici mon problème est que ce n'est pas une relation fonction/ dérivée mais une relation fonction X/ dérivée Y. En fait je voulais surtout avoir une confirmation si ce que je pensais était juste ( mais j'aurais peut être du l'écrire...). Je voulais dériver une des equations, puis faire une substitution pour pouvoir en résoudre une, puis l'autre, et aux vues de votre indication, je pense que c'est la bonne méthode

bonne journée

ps: quand j'ai dit que c'est sûrement facile, mon exercice est un exercice de physique et le plus souvent la résolution des equa diff n'est pas très compliquée

#4 25-02-2021 17:17:15

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 059

Re : système d'equations différentielles

Bonsoir,

Tu as raison, tu peux dériver la seconde équation afin de l'utiliser dans la première.

Si tu veux être vraiment rigoureux tu pourrais faire ainsi : supposons que $(X,Y)$ est un couple solution. On aura alors deux fonctions dérivables $X$ et $Y$ telles que
$$\left\{\begin{aligned}
&aX(t) = Y'(t)\\
&aY(t) = X'(t) + cste
\end{aligned}\right.$$
Puisque $Y$ est dérivable, la seconde équation te dit que $X'$ est aussi dérivable (puisque égale à la fonction $aY-cste$). Tu auras donc, en dérivant cette deuxième équation :
$$aY'(t) = X''(t).$$
Maintenant, en multipliant la première équation par $a$ tu obtiens
$$a^2X(t) = aY'(t).$$
Finalement, si tu as une solution alors $X$ est deux fois dérivable, et doit vérifier
$$X''(t) = a^2X(t).$$

Ensuite c'est à toi de jouer pour trouver $X(t)$, puis $Y(t)$.

Et pour conclure, il faut quand même que tu remarques que j'ai commencé le raisonnement en supposant qu'on avait déjà une solution (alors que c'est ce qu'on cherche !). En pratique, pour bien terminer il faudra que tu vérifies que les fonctions $X$ et $Y$ que tu as obtenues sont effectivement bien des solutions de ton problème initial.

Ce type de raisonnement est appelé raisonnement par analyse-synthèse : on cherche des conditions sur une éventuelle solution, et ensuite on vérifie que ça marche....

Roro.

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
quatre-vingt dix-sept plus quarantedeux
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums