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#1 22-02-2021 17:44:54

YVES CROS
Membre
Inscription : 17-02-2021
Messages : 2

Récurrence forte

Bonjour,
Je me demande s'il est pertinent de résoudre l'exercice suivant a l'aide de la récurrence forte :
$u{_0}  = - 1, \quad     \sum\limits _{k=0}^n \frac {u_{n-k}}{k+1} = 0$ pour tout entier n >0
Montrer que pour tout entier n, $u_{n} > 0$
Pour ma part, je n'y suis pas encore arrivé ...

Hors ligne

#2 22-02-2021 22:49:07

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 866

Re : Récurrence forte

Bonjour,

  Oui, à mon avis c'est une bonne idée.
Le point clé, pour passer du rang $n$ au rang $n+1$, c'est de démontrer que
$$\sum_{k=0}^{n}\frac{u_{n-k}}{k+2}<0$$
dès que l'on sait que
$$\sum_{k=0}^n \frac{u_{n_k}}{k+1}=0,\ u_0<0,\ u_1,u_2,\dots,u_n>0.$$

Pour cela, je séparerais les parties "négatives" et "positives" de chaque somme, et je remarquerai que,
quand je passe du dénominateur $k+1$ au dénominateur $k+2$, la partie négative varie moins que la partie positive....

F.

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#3 23-02-2021 14:24:17

YVES CROS
Membre
Inscription : 17-02-2021
Messages : 2

Re : Récurrence forte

Merci de m'indiquer que je suis sur la bonne voie.
Je vais donc persévérer dans cette direction.

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#4 23-02-2021 15:06:38

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 866

Re : Récurrence forte

J'ai essayé de te donner une indication sans donner la solution, mais ce n'est pas si facile à formuler. N'hésite pas à repasser (en espérant que je ne me suis pas trompé!).

F.

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