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#1 22-02-2021 19:44:54
- YVES CROS
- Membre
- Inscription : 17-02-2021
- Messages : 2
Récurrence forte
Bonjour,
Je me demande s'il est pertinent de résoudre l'exercice suivant a l'aide de la récurrence forte :
$u{_0} = - 1, \quad \sum\limits _{k=0}^n \frac {u_{n-k}}{k+1} = 0$ pour tout entier n >0
Montrer que pour tout entier n, $u_{n} > 0$
Pour ma part, je n'y suis pas encore arrivé ...
Hors ligne
#2 23-02-2021 00:49:07
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 047
Re : Récurrence forte
Bonjour,
Oui, à mon avis c'est une bonne idée.
Le point clé, pour passer du rang $n$ au rang $n+1$, c'est de démontrer que
$$\sum_{k=0}^{n}\frac{u_{n-k}}{k+2}<0$$
dès que l'on sait que
$$\sum_{k=0}^n \frac{u_{n_k}}{k+1}=0,\ u_0<0,\ u_1,u_2,\dots,u_n>0.$$
Pour cela, je séparerais les parties "négatives" et "positives" de chaque somme, et je remarquerai que,
quand je passe du dénominateur $k+1$ au dénominateur $k+2$, la partie négative varie moins que la partie positive....
F.
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