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#1 16-02-2021 01:02:57
- Math&Yeux
- Invité
arithmétique
Bonsoir
Dans un des exercices d'arithmétique du site , il est écrit: "a∧b=a∧(a−b) (on écrit a=b+(a−b))"
Or je ne comprend pas en quoi cela nous affirme qu'il s'agit bien du même PGCD (c'est peut être tout bête mais l'arithmétique et moi...)
Merci d'avance
Mathieu
#2 16-02-2021 10:40:21
- Chlore au quinoa
- Membre
- Inscription : 06-01-2021
- Messages : 305
Re : arithmétique
Coucou !
Il s'agit en réalité du début de l'algorithme d'Euclide pour calculer un PGCD.
Soit $m=PGCD(a,b)$
Je note | pour "divise". On suppose arbitrairement que $a>b$. On a $m|a$ et $m|b$ donc $m|a-b$. Ainsi $m$ est un diviseur commun à $b$ et $a-b$, donc $m\le PGCD(a-b,b)$ (Vois-tu pourquoi ?).
Je te laisse démontrer l'autre inégalité qui te permet de conclure !
Adam
Dernière modification par Chlore au quinoa (16-02-2021 10:40:40)
"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."
J. von Neumann
Hors ligne
#3 16-02-2021 16:37:29
- Math&Yeux
- Invité
Re : arithmétique
J'ai tout compris merci!
bonne journée
#4 23-02-2021 11:08:18
- bridgslam
- Membre
- Lieu : Rospez
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- Messages : 1 302
Re : arithmétique
Bonjour,
Il vaut mieux éviter de transiter par un ordre annexe à celui de la divisibilité.
Par exemple on montre que a , a-b d'une part et a,b d'autre part, ont le même ensemble de diviseurs communs, donc le plus grand est le même.
Je te laisse le soin de le prouver par double implication.
Cordialement,
Alain
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
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