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#1 15-02-2021 23:02:57

Math&Yeux
Invité

arithmétique

Bonsoir

Dans un des exercices d'arithmétique du site , il est écrit: "a∧b=a∧(a−b) (on écrit a=b+(a−b))"
Or je ne comprend pas en quoi cela nous affirme qu'il s'agit bien du même PGCD (c'est peut être tout bête mais l'arithmétique et moi...)

Merci d'avance
Mathieu

#2 16-02-2021 08:40:21

Chlore au quinoa
Membre
Inscription : 06-01-2021
Messages : 209

Re : arithmétique

Coucou !

Il s'agit en réalité du début de l'algorithme d'Euclide pour calculer un PGCD.

Soit $m=PGCD(a,b)$

Je note | pour "divise". On suppose arbitrairement que $a>b$. On a $m|a$ et $m|b$ donc $m|a-b$. Ainsi $m$ est un diviseur commun à $b$ et $a-b$, donc $m\le PGCD(a-b,b)$ (Vois-tu pourquoi ?).

Je te laisse démontrer l'autre inégalité qui te permet de conclure !

Adam

Dernière modification par Chlore au quinoa (16-02-2021 08:40:40)


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

Hors ligne

#3 16-02-2021 14:37:29

Math&Yeux
Invité

Re : arithmétique

J'ai tout compris merci!

bonne journée

#4 23-02-2021 09:08:18

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 59

Re : arithmétique

Bonjour,

Il vaut mieux éviter de transiter par un ordre annexe à celui de la divisibilité.
Par exemple on montre que a , a-b d'une part et a,b d'autre part, ont le même ensemble de diviseurs communs, donc le plus grand est le même.

Je te laisse le soin de le prouver par double implication.

Cordialement,
Alain

Hors ligne

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