Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 22-02-2021 18:44:54

YVES CROS
Membre
Inscription : 17-02-2021
Messages : 2

Récurrence forte

Bonjour,
Je me demande s'il est pertinent de résoudre l'exercice suivant a l'aide de la récurrence forte :
$u{_0}  = - 1, \quad     \sum\limits _{k=0}^n \frac {u_{n-k}}{k+1} = 0$ pour tout entier n >0
Montrer que pour tout entier n, $u_{n} > 0$
Pour ma part, je n'y suis pas encore arrivé ...

Hors ligne

#2 22-02-2021 23:49:07

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Récurrence forte

Bonjour,

  Oui, à mon avis c'est une bonne idée.
Le point clé, pour passer du rang $n$ au rang $n+1$, c'est de démontrer que
$$\sum_{k=0}^{n}\frac{u_{n-k}}{k+2}<0$$
dès que l'on sait que
$$\sum_{k=0}^n \frac{u_{n_k}}{k+1}=0,\ u_0<0,\ u_1,u_2,\dots,u_n>0.$$

Pour cela, je séparerais les parties "négatives" et "positives" de chaque somme, et je remarquerai que,
quand je passe du dénominateur $k+1$ au dénominateur $k+2$, la partie négative varie moins que la partie positive....

F.

Hors ligne

#3 23-02-2021 15:24:17

YVES CROS
Membre
Inscription : 17-02-2021
Messages : 2

Re : Récurrence forte

Merci de m'indiquer que je suis sur la bonne voie.
Je vais donc persévérer dans cette direction.

Hors ligne

#4 23-02-2021 16:06:38

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Récurrence forte

J'ai essayé de te donner une indication sans donner la solution, mais ce n'est pas si facile à formuler. N'hésite pas à repasser (en espérant que je ne me suis pas trompé!).

F.

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
quatre-vingt quatorze plus vingt
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums