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#1 20-02-2021 21:12:01

Yasser Kabiri
Membre
Inscription : 01-08-2020
Messages : 16

Relation de Chasles

Bonjour tout le monde.je suis entrain de montrer une propriété concernant les coordoones d'un vecteur
pour montrer que $\mathrm{OM}=x.\vec i+ y.\vec j$ on utilise la propriété de chal qui dit qu'un vecteur $\mathrm{O\vec{M }}=O \vec{M}_{X}+O \vec{M}_{Y}$
Avec $\mathrm{M}_{X}$ et $M_{Y}$ les projections de $\mathrm{M}$ sur les axes OI et $\mathrm{OJ}$ et c'est ce que je n'ai pas compris d'ou il vient
Cette relation comment peut-ont-la demontrer je parle de la relation de Chasles.

Une autre chose que je n'ai pas compris c'est que $\mathrm{O} \overrightarrow{\mathrm{M}}_{X}=x .\vec i $ d'ou il vient cette égalité ?  . (je suis désolé pour les fautes  je suis entrain de comprendre comment Latex se fonctionne   )

Dernière modification par Yasser Kabiri (21-02-2021 13:59:07)

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#2 20-02-2021 22:44:44

Chlore au quinoa
Membre
Inscription : 06-01-2021
Messages : 207

Re : Relation de Chasles

Bonsoir,

Pour LaTeX  aucun souci il faut bien débuter ! Conseil pour un vecteur, plutôt utiliser \overrightarrow{OM} : $\overrightarrow{OM}$
La flèche est plus visible.

Ensuite s'il te plaît, relation de CHASLES pas Chal ^^. Des profs de maths risqueraient de faire une attaque !

Pour ta question, je ne suis pas sûr de te suivre... tu ne comprends pas d'où vient la relation de Chasles et tu veux une démonstration ?


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

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#3 21-02-2021 13:52:20

Yasser Kabiri
Membre
Inscription : 01-08-2020
Messages : 16

Re : Relation de Chasles

Bonjour, merci pour votre réponse. Oui une faute d'othographe j'ai écris bien le nom dans la 4eme ligne,je vais la coriiger aprés.J'utilise la propriété de CHASLES  et je ne sais pas comment était formé donc je me suis dit pourquoi pas la demontrer pour bien comprentre . Je uis  en second et il faut s'approfondir dans les choses pour ne rater rien  dans un leçon  "droite dans le plan" pour comprendre les repères,les coordones d'un point,d'un vecteur... ,tu dois comprendre cette relation.je veux qu l'idee et je vais la chercher tout seul.
Merci

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#4 21-02-2021 19:40:49

Chlore au quinoa
Membre
Inscription : 06-01-2021
Messages : 207

Re : Relation de Chasles

Re,

La relation de Chasles sert simplement à définir la somme de deux vecteurs. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ par définition. Il faut simplement vérifier que cela ne dépend pas du point $B$ choisi...
Je pense déjà t'avoir bien aiguillé !

Adam


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

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#5 22-02-2021 16:47:53

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 628

Re : Relation de Chasles

Re,

Je vais tenter une approche Sortie de Collège"...
En 3e, Tu as vu qu'une vecteur $\overrightarrow{AB}$ définissait un LE déplacement de A à B.)
Pour cela tu devais préciser
* la direction du vecteur (grosso modo l'inclinaison de la droite qui le supporte)
* son sens : de A vers B ou de B vers A,
* sa longueur (on dira plus tard sa norme)
Le vecteur a une origine (le 1er point dans le sens de la lecture) et une extrémité (le 2e point dans le sens de la lecture) et la flèche de la notation va toujours de G à D, de l'origine vers l'extrémité)

Si j'introduis un 3e point C n'appartenant pas à la droite (AB), j'ai à ma disposition 4 autre déplacements :
- 2 portés par la droite (AC) :
  de A à C et de C à A, de sens opposés ces déplacements sont de même longueur,
  Vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{CA}$
- 2 portés par la droite (BC) :
  de B à C et de C à B, de sens opposés ces déplacements sont de même longueur,
  Vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CB}$

Le symbole = d'habitude représente un résultat...
Dans l'ensemble des déplacements, se déplacer de A à C, puis de C à B a pour résultat final s'être déplacé en fait de A à B...

Ce qu'on note :
$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$
C'est cette relation qu'on désigne par relation de Chasles...

Attention, si se déplacer de A à C, puis de C à B a pour résultat final le déplacement de A à B, ajouter la longueur du déplacement de C à B à la longueur du déplacement de  A à C ne donne pas la la longueur du déplacement de A à B : tu as fait un détour...

Par contre la propriété est vraie si le point C est sur le segment [AB].

En ce qui concerne les vecteurs, la relation de Chasles est toujours vraie !

Dans un repère $orthornormé(O,\vec i,\vec j)$
O est l'origine des des coordonnées
- le vecteur $\vec i$, par définition, a pour longueur 1 (1 unité), d'origine O, sa direction est l'axe des abscisses et son sens est le sens positif (de G à D)
- le vecteur $\vec j$, par définition, a pour longueur 1 (1 unité), d'origine O, sa direction est l'axe des ordonnées et son sens est le sens positif (de bas en Haut, en Mathématiques).
Considérons un point M quelconque du repère n'appartenant à aucun des axes...
Je trace la perpendiculaire passant par M à l'axe des abscisses et j'appelle H le point d'intersection.
Je trace la perpendiculaire passant par M à l'axe des ordonnées et j'appelle K le point d'intersection.

Le déplacement de O à M représenté par $\overrightarrow{OM}$ peut se décomposer en un ajout de deux fois 2 déplacements :
* de O à H puis de H à M, soit $\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HM}$  soit l'égalité $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HM}$
     ou
* de O à K puis de K à M, soit $\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KM}$  soit l'égalité $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KM}$

Examinons maintenant le quadrilatère OHMK, c'est un rectangle...
- (OH) // (KM) et OH = KM ; de plus les sens de O à H et de K à M sont les mêmes : du point de vue des déplacements ils sont équivalents :
  $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{KM}$
- (OK)// (HM) et OK = HM ; de plus les sens de O à K et de H à M sont les mêmes : du point de vue des déplacements ils sont équivalents :
  $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{KM}$

Soit $(x_M ; y_M)$ les coordonnées de M
Et bien $\overrightarrow{OH}=x_M.\vec i$ et  $\overrightarrow{OK}=y_M.\vec j$

On a donc  $\overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OH}+\overrightarrow{KM}= \overrightarrow{OH}+\overrightarrow{OK} =x_M.\vec i + y_M.\vec j$
Si $M(-2;3)$ par exemple, alors $\overrightarrow{OM}=-2\vec i + 3\vec j$

@+

Dernière modification par yoshi (22-02-2021 17:48:41)


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