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#1 16-02-2021 07:06:57

Bernard-maths
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Paraboles détournées

Bonjour à tous !

TOUT le monde sait que si F est un point et (d) une droite, dans le plan ; si P est un point du plan se projetant en H sur (d), alors l'ensemble des points P du plan vérifiant PF = PH est une parabole ... (et si F sur (d) ?)

Soit k un nombre réel > 0 ...

1°) Quel est l'ensemble des points P vérifiant PF + PH = k ?

     On pourra prendre (d) : y = 0 et F(0;a), a réel. Et discuter un peu ...


2°) Pareil avec PF = PH + k !


Bernard-maths.


PS : j'ai pas étudié le 2°), mais le 1°) est chouette ...


Blagounette : vous connaissez Gontran, le cousin chanceux de Donald ?
Eh bien lui, il craignait les "para-bol" ...


PS : pour Yoshi : ça fait 6 ou 7 fois que je modifie.

Dernière modification par Bernard-maths (16-02-2021 07:16:27)

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#2 16-02-2021 09:06:52

Chlore au quinoa
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Re : Paraboles détournées

Salut Bernard !

Ça m'a l'air drôlement intéressant ! Je m'y mets tout de suite ! Bon pour répondre à ton préliminaire je trouve si $F\in (d)$

Texte caché

la  droite perpendiculaire à $(d)$ passant par $F$

À bientôt !

Adam


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

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#3 16-02-2021 10:29:13

Chlore au quinoa
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Re : Paraboles détournées

Re,

Alors rapide première étude du problème :

Comme tu l'as suggéré, j'ai pris $(d)$ et $F$ respectivement la droite des abscisses et le point $(0,a)$. La figure est ici (tiens d'ailleurs comment fait-on pour insérer directement une image ? la balise "{img}" (avec des crochets) a un fonctionnement qui est incompris par mon esprit...).

J'ai d'abord voulu voir quels points particuliers convenaient, histoire d'avoir un point de départ. Bon immédiatement si $k>a$, j'ai $P_1(k-a,a)$ qui convient, et symétriquement par rapport à l'axe $(Oy)$, $P_2(a-k,a)$ convient également.

En voyant ceci, on peut se demander si la figure obtenue avec tous les points admet bien $(Oy)$ comme axe de symétrie.

J'ai démontré mieux que cela en réalité... Mais je suis encore très très loin d'une solution qui me convient.

Après les considérations purement géométriques précédentes, je suis passé à quelque chose de plus analytique en calculant simplement les distances considérées. Pour un point $P(x,y)$, je trouve $PF=\sqrt{x²+(y-a)²}$ et $PH = y$.
Donc la traduction du problème revient à déterminer l'ensemble suivant :

$\left\{(x,y)\in\mathbb{R}²\,|\, \sqrt{x^2+(y-a)^2}+y=k,\,(a,k)\in\mathbb{R}²\right\}$

Plusieurs choses avec ce résultat : tout d'abord, si figure il y a, il y aura bien symétrie par rapport à l'axe $(Oy)$, en effet si $(x,y)$ convient, $(-x,y)$ convient également.
Ensuite j'essaie de rédiger ceci proprement, un argument de continuité permet de dire qu'il y a forcément des points qui conviennent. Le problème c'est que rédiger en utilisant de la topologie pour un problème de géométrie dans $\mathbb {R}^2$ ça me barbe haha.
Enfin, et le plus agaçant, je n'ai pas la moindre idée de comment représenter une telle courbe, je n'arrive pas non plus à me faire une idée de son allure. Ça m'agace. Grr.

Je continue mes recherches et te tiens au courant ici !

Adam

Dernière modification par Chlore au quinoa (16-02-2021 10:29:33)


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J. von Neumann

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#4 16-02-2021 11:18:26

jpp
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Re : Paraboles détournées

salut,

pour la question 1)

Un exemple avec  la projection H sur l'axe des x ,  le foyer F (0,2)  et enfin k = 4
Dans ce cas j'ai deux morceaux de paraboles d'équation :

[tex]y = -\cfrac{x^2}{4}+3[/tex]
et
[tex]y = \cfrac{x^2}{12}-1[/tex]

et j'obtiens la forme d'un œil  il me semble .

la première courbe à pour équation générale :  ( y doit rester positif avec la partie de la courbe au dessus de l'axe des abscisses )

[tex]y = \cfrac{-x^2}{2.(k-a)} + \cfrac{k+a}{2}[/tex] 

Je regarde la seconde :  y reste négatif avec la partie de la courbe au dessous de l'axe des abscisses  .

[tex]y = \cfrac{x^2}{2.(k+a)} - \cfrac{k-a}{2}[/tex]

Avec k = 3 &  a = 1

210216035433644434.png

Dernière modification par jpp (16-02-2021 14:48:31)

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#5 16-02-2021 13:20:22

Bernard-maths
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Re : Paraboles détournées

Bonjour !


ça évolue ... il faut penser à des équations explicites, oui.

Delon la position de F, cet oeil peut paraître ... bizarre. Pour F(0;0), il est normal.
Mais il lui manque les paupières, les cils, l'iris ... à étudier !

Avez-vous fait un dessin ?

Le 2°) va combler les choses ... question courbes.

PS : je réfléchis à une suite ... si possible, aidez-moi ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (16-02-2021 13:42:49)

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#6 16-02-2021 13:55:22

jpp
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Re : Paraboles détournées

re ,

Concernant la question 2)  ; j'obtiens aussi une parabole d'équation générale :

[tex] y = \cfrac{x^2}{2.(a+k)} + \cfrac{a-k}{2}[/tex]

finalement je retrouve la même courbe que celle du 1)

Dernière modification par jpp (16-02-2021 14:08:52)

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#7 16-02-2021 15:25:40

Bernard-maths
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Re : Paraboles détournées

Hum !

Il faut revoir un peu les calculs ... jpp.

Ce n'est PAS le même endroit ... mais SUR l.. même(s) courbe(s).

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (16-02-2021 15:27:09)

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#8 17-02-2021 16:05:28

Bernard-maths
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Re : Paraboles détournées

Bonjour à tous !

Ce petit problème que je vous ai proposé est en réalité un peu plus complexe que prévu !

Il y a à discuter selon les valeurs de a et de k, entre autre ...

Je suis en train de rédiger une solution générale, que je mettrai en ligne d'ici un ou deux jours ...

En attendant n'hésitez pas à chercher encore !

Cordialement, Bernard-maths

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#9 18-02-2021 20:07:38

Bernard-maths
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Re : Paraboles détournées

Bonsoir à tous, @ jpp, @ Adam, @Wiwaxia, @ Yoshi, etc ...

Bon, vous n'avez pas tous le temps de chercher mes chinoiseries, normal, moi j'ai pas le temps de tout faire ...

Alors je vous envoie un corrigé, pas trop succinct, avec des fichiers GeoGebra, bonne lecture.

https://cjoint.com/c/KBst2xtu6pV
https://cjoint.com/c/KBst3siCLcV
https://cjoint.com/c/KBst3YcmnFV

Bonne nuit !

Bernard-maths

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#10 19-02-2021 12:58:18

Bernard-maths
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Re : Paraboles détournées

Hello !

Merci de me dire ce que vous pensez de ce problème, et de son corrigé !

Bernard-maths

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#11 19-02-2021 13:03:10

Wiwaxia
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Re : Paraboles détournées

Bonjour,

Bernard-maths a écrit :

...  si P est un point du plan se projetant en H sur (d), alors l'ensemble des points P du plan vérifiant PF = PH est une parabole ... (et si F sur (d) ?)
Soit k un nombre réel > 0 ...

1°) Quel est l'ensemble des points P vérifiant PF + PH = k ? On pourra prendre (d) : y = 0 et F(0;a), a réel. Et discuter un peu ...

2°) Pareil avec PF = PH + k ! ...

On a  ici PF = √(x2 + (y - a)2) et PH = |y| = s.y , avec s = +1 si (y ≥ 0) sinon s = -1 .
Tout le reste en découle-

1°) L'équation PF = k - PH donne PF2 = (k - PH)2 , soit encore:

x2 + (y - a)2 = (k - |y|)2
x2 + a2 - 2a.y = k2 - 2sk.y (puisque s2 = 1)

et finalement: 2(a - sk).y = x2 + a2 - k2 .

Il s'agit d'un faisceau de paraboles présentant une discontinuité de pente au niveau de l'axe horizontal (y = 0).

2°) On a désormais PF = PH + k ,
ce qui conduit à:

x2 + (y - a)2 = (k + |y|)2
x2 - 2a.y + a2 = k2 + 2sk.y (pour la même raison qu'auparavant)

d'où: 2(a + sk).y = x2 + a2 - k2 .

Résultat analogue: seul un terme change de signe.

Dernière modification par Wiwaxia (22-02-2021 09:03:39)

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#12 19-02-2021 14:09:33

Chlore au quinoa
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Re : Paraboles détournées

Hello Bernard !

En effet beaucoup plus dur que ce qu'il n'y paraît ! Ma nullité en géométrie (je ne me suis jamais passionné pour ce domaine, même si tu le rends passionnant avec ce problème, ou celui des cubes tronqués) ne m'a hélas pas permis de trouver une solution satisfaisante, mais je tiens à te remercier : tu me permets de m'améliorer.

Quant à ta correction : très claire, belles images ^^

Si tu as d'autres énoncés du style, je les chercherai avec plaisir.

Adam


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J. von Neumann

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#13 20-02-2021 09:30:55

Wiwaxia
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Re : Paraboles détournées

Bonjour,

Voici les faisceaux de paraboles d'équations k = PF - PH et k = PF + PH .

Valeurs positives du vert sombre au rouge, négatives du vert sombre au bleu (échelles différentes dans chacun des cas).
La courbe lilas est la parabole d'équation PF = PH (soit: k = 0 , en pratique: |k[ < 1).

KBujswb3Bvx_k=PF---PH.png
KBujtWrhGRx_k=PF-+-PH.png

Dernière modification par Wiwaxia (20-02-2021 10:06:28)

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#14 22-02-2021 08:48:37

Wiwaxia
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Re : Paraboles détournées

Le tracé des faisceaux de paraboles a été repris en utilisant une fonction d'échelle continue mais non linéaire, la teinte de la palette (variant conventionnellement entre (-1) et (+1)) étant désormais donnée par la fonction homographique:

t = (M2 - M1).u/((M1 + M2).u - 2.M1M2) .

Le zéro est en effet très éloigné de la médiane des valeurs extrêmes observées sur l'ensemble des deux graphes; on a dans le cas présent:

M1 = -72 , M2 = +445 .

Les coordonnées de l'origine dans l'image (de dimensions 361×361), l'ordonnée (Hf) du foyer sont ici données par les relations:

Xc = La DIV 2 , Yc = (2*Ha) DIV 5 , Hf = Ha DIV 5 .

KBwifhDJUox_k=PF---Abs-y-k=PF-+-Abs-y-H=72.png

La similitude des équations fait que la partie inférieure des graphes s'échange avec celle des graphes obtenus en replaçant (PH) par (y), et pour lesquels il n'y a plus de discontinuité de pente:

KBwigtobhsx_k=PF---y-k=PF-+-y-H=72.png

1°) L'équation PF = k - PH donne
... / ... et finalement: 2(a - sk).y = x2 + a2 - k2 .

Il s'agit d'un faisceau de paraboles présentant une discontinuité de pente au niveau de l'axe horizontal (y = 0).

2°) On a désormais PF = PH + k ,
... / ... d'où: 2(a + sk).y = x2 + a2 - k2 .

Résultat analogue: seul un terme change de signe.

Dernière modification par Wiwaxia (22-02-2021 09:09:36)

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#15 22-02-2021 10:45:12

Bernard-maths
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Re : Paraboles détournées

Salut Wiwaxia !

Toujours de beaux dessins riches en couleurs !

Mais ... pour la réponse au problème posé, on ne trouve que des morceaux de paraboles ...

J'ose à peine imaginer les dessins que tu sortiras quand je parlerai des figures "rayonnantes" !

@ plus, Bernard-maths

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#16 22-02-2021 12:07:54

Wiwaxia
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Re : Paraboles détournées

Bernard-maths a écrit :

... pour la réponse au problème posé, on ne trouve que des morceaux de paraboles ...

Les frontières des zones colorées successives correspondent bien aux courbes cherchées, comme le confirme l'analogie des formes observées sur les images suivantes (dont l'une a été postée par un autre intervenant - jpp):

KBwlUpnj25x_1-parabole+faisceau.png

La discrétisation du paramètre de teinte (t) permet de faire apparaître le faisceau de courbes d'équation

k = Constante :

FUNCTION F_Couleur(t: Reel): Pixel;  // t varie sur [-1 ; 1]
   CONST M1 = 255; M2 = 130;
Nc = 10; I_Nc = 1 / Nc; Kc = Nc + 0.999;

   VAR j: Byte; p, q, r, s: Reel; Px: Pixel;
   BEGIN
     p:= Abs(t);
      j:= Floor(Kc * p); s:= I_Nc * j;

     r:= 4 * s;       p:= r * (1 - s);   Px[2]:= Round(M1 * p);
     q:= Sqrt(2 * s); IF (q>1) THEN q:= 1;

     IF (t>0) THEN BEGIN
                     Px[1]:= Round(M1 * q); Px[3]:= Round(M2 * s)
                   END
              ELSE BEGIN
                     Px[3]:= Round(M1 * q); Px[1]:= Round(M2 * s)
                   END;
     Result:= Px
   END;

Dernière modification par Wiwaxia (22-02-2021 12:14:27)

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