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#1 19-02-2021 12:31:36

4Malick
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Choix entre combinaison et composition

Bonjour,
J'étais entreint de traiter un exercice qui disait:" quel est le nombre de répartition possible de n boules identiques dans k urnes discernables", a première vu ca ressemble a une combinaison avec répétions , mais je me demandais si on pouvais pas dire aussi que c'est en fait le nombre de façon de décomposer le nombre n en k termes. Donc actuellement j'hésite entre le nombre de composition de n à k part ou une combinaison avec répétition .
Merci d'avance pour votre réponse

Dernière modification par 4Malick (19-02-2021 12:32:29)

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#2 19-02-2021 14:01:09

Chlore au quinoa
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Messages : 209

Re : Choix entre combinaison et composition

Salut !

Enfin un post qui traite de dénombrement ♥♥, ce domaine des maths est tellement sous-côté...

Enfin bref !

Déjà y a-t-il un nombre minimal de boule(s) à mettre dans chaque urne ? Comme tu ne le précises pas je suppose que non.

Je connais cet exercice, et il m'a vraiment fait sécher jusqu'à ce que j'apprenne une méthode que je trouve splendide, qui présente le problème différemment, tout en simplifiant la situation. La voici :

Au lieu de vouloir rentrer $n$ boules dans $k$ urnes, dis-toi que tu places les $n$ boules sur une ligne. Ensuite pour modéliser les urnes, tu traces des traits pour séparer les boules en $k$ groupes. Comme les urnes peuvent a priori être vides, tu peux accoler plusieurs traits. Pour modéliser $k$ urnes, il faut ___ traits.

Petite illustration ici.

Pour arriver à ce résultat, il faut se dire qu'au départ tu avais ___ objets identiques, et que tu en choisis ___ pour qu'ils deviennent des traits. Le nombre de possibilités revient à déterminer le nombre de choix qu'on a de choisir ___ traits parmi les ___ objets.

J'espère avoir été clair :)

Adam

[edit] : S'il y a un nombre minimal de boule(s) par urne, la démo s'adapte. Le fait de décomposer un nombre $n$ en $k$ termes revient à dire "il y a minium $1$ boule dans chaque urne". Et si je ne suis pas clair avec mes ___ n'hésite pas à me le faire savoir !

Dernière modification par Chlore au quinoa (19-02-2021 14:04:47)


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

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#3 20-02-2021 08:58:08

4Malick
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Re : Choix entre combinaison et composition

Salut,
Waw , c'est une méthode très élégante. Donc si je comprends pour calculer le nombre de repartions possibles il faut prendre k-1 traits parmi n-1.
Mais cette fois si on considère les n boules indiscernables , puis une par une on les mets dans
les urne ensuite   sur chaque boule on note le numéro de l'urne dans la quelle on l'a mise on se retrouve dans le cas d'une combinaison avec répétition. Mais le problème c'est qu'on ne trouve pas le même résultat. Du coup j'aimerais savoir si dans le raisonnement que je viens se trouve une erreur. Mais aussi un autre problème, c'est le cas ou k-1 est plus grand que n-1.

Dernière modification par 4Malick (20-02-2021 09:04:16)

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#4 20-02-2021 09:12:10

Chlore au quinoa
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Re : Choix entre combinaison et composition

Non ! Pas $\dbinom{n-1}{k-1}$ ! Il faut considérer le nombre total d'objets parmi lesquels choisir les $k-1$ bâtons ! Il y en a plus que $n-1$...

Dernière modification par Chlore au quinoa (20-02-2021 09:32:22)


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J. von Neumann

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#5 20-02-2021 09:36:04

4Malick
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Re : Choix entre combinaison et composition

Désole mais je n'arrive pas à comprendre ce que tu essaye de me dire.

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#6 20-02-2021 09:42:43

Chlore au quinoa
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Re : Choix entre combinaison et composition

Au départ, confonds totalement les boules et les traits. Ce sont les mêmes objets. Tu en as donc plus (+) que $n-1$. Ensuite, parmi ce nombre d'objets, c'est là que tu en sélectionnes $k-1$ pour qu'ils deviennent des traits. Je ne sais pas si je suis clair

Dernière modification par Chlore au quinoa (20-02-2021 09:43:37)


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J. von Neumann

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#7 20-02-2021 11:51:41

4Malick
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Re : Choix entre combinaison et composition

D’accord!!!! Je vois donc on dois choisir k-1 objets parmi n+k-1, pour moi je pensais que tu parlais des  n-1 intervalles entre les boules et que parmi ces intervalles il fallait en choisir k-1.

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#8 20-02-2021 12:09:33

Chlore au quinoa
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Re : Choix entre combinaison et composition

Exact c'est bien la solution :)

Maintenant si tu veux, je te fais une petite énigme : combien y a-t-il de cas si chaque urne doit contenir au minimum $a\in[\![0,n]\!]$ boule(s) ?

Courage à toi hihi, c'est un peu plus dur...


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J. von Neumann

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#9 20-02-2021 13:08:14

4Malick
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Re : Choix entre combinaison et composition

??.
On pourrait distribuer les ka boules au k urnes puis on applique la formule de la question précédente avec cette fois n-ka boules. Par contre si ka > n la je pense que j aurait un problème .

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#10 20-02-2021 13:34:30

Chlore au quinoa
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Re : Choix entre combinaison et composition

En réalité non il n'y a pas de problème ! Le réponse est bien $\dbinom{n+ak-1}{k-1}$, mais par convention si $p<q$, $\dbinom{p}{q}=0$. Donc la formule se généralise bien :)

Très bonne journée à toi !

Dernière modification par Chlore au quinoa (20-02-2021 13:35:02)


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J. von Neumann

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#11 21-02-2021 23:23:44

4Malick
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Messages : 7

Re : Choix entre combinaison et composition

a toi aussi merci pour tout

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