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#1 25-01-2021 09:43:55

danielrene
Membre
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Messages : 6

Formes multilinéaires alternées

[tex][/tex]Bonjour à tout le monde,

Il y a quelques ambiguïtés  dans les écritures des applications multilinéaires alternées, et je voudrais avoir l'avis d'autres personnes.
Je donne ici l'énoncé d'un théorème fondamental relatif a ces applications qui est le suivant:
$Soit $ E $et$ F $ deux \; espaces \; vectoriels \; sur \;  le\;  même \;  corps\; $ K,    $avec \;$ dim  E = $n$. $Pour \; toute \; base \;\mathcal{B}=\{e_{1}, \, e_{2}, \dots , \, e_{n} \} \;  de \; $E$et \; tout \; vecteur \; \textbf{k}  \; de \; $F, $\; il \; existe \; une \; unique \; application  \; multilinéaire  \; alternée \; f \; de \; $E$^{n} \;  dans \; $F $\; tel \; que $
$$   f(e_{1}, \, e_{2}, \dots , \, e_{n})= \textbf{k}  $$
Première question concernant l'unicité de la solution.
Que vaut cette démonstration de l'unicité de la solution dont l'énoncé est le suivant:
Soit $f$ une application multilinéaire alternée et  $  \mathcal{B}=\{e_{1}, \, e_{2}, \dots , \, e_{n} \} $ une base de E.
On suppose qu'il existe $ \textbf{k} $ et $ \textbf{k'} $ appartenant à F tel que
$$   f(e_{1}, \, e_{2}, \dots , \, e_{n})= \textbf{k}  $$
$$    f(e_{1}, \, e_{2}, \dots , \, e_{n})= \textbf{k'}  $$
Alors
$$ f(e_{1}, \, e_{2}, \dots , \, e_{n}) - f(e_{1}, \, e_{2}, \dots , \, e_{n}) = \textbf{k} - \textbf{k'}$$
$$                                                                                                        \textbf{0} = \textbf{k} - \textbf{k'}$$
Donc $\textbf{k} = \textbf{k'}$ d'où l'unicité.
Deuxième question.
La base $\mathcal{B}=\{e_{1}, \, e_{2}, \dots , \, e_{n} \} \;  de \; $ peut être quelconque. En général cette base est la base canonique. ce qui peut être un peu perturbant.
Merci pour les commentaires.

Dernière modification par danielrene (25-01-2021 19:11:35)

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#2 25-01-2021 10:13:25

Chlore au quinoa
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Re : Formes multilinéaires alternées

Salut

Je crois que tu confonds les boutons "prévisualiser" et valider. Je te conseille de supprimer tes 3 autres posts créés par erreur, sinon la foudre des modos s'abattra sur toi. Et si tu veux le code LaTeX du début de ton énoncé vu que tu as l'air de galérer ^^ :

CODE LATEX

\text{Soient}\, E\,\text{et}\, F\, \text{deux espaces vectoriels sur le même corps} \,\mathbb{K}\, \text{avec} \dim(E) = n. \,\text{Pour toute base}\,  \mathcal{B}=\{e_1,...e_n\}

Dernière modification par Chlore au quinoa (25-01-2021 10:14:18)


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

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#3 26-01-2021 15:59:02

Chlore au quinoa
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Inscription : 06-01-2021
Messages : 209

Re : Formes multilinéaires alternées

Bonjour,

Pour ton premier point attention. Tu dois plutôt fixer ton vecteur k et faire soit $(f_1,f_2)\in\mathcal{L}(E,F)^2$ (et non pas $\mathcal{L}(E^n,F)$) $n$-linéaires alternées avec $f_1(e_1,...,e_n)=f_2(e_1,...,e_n)=$k

Tu vois pourquoi ? Le théorème porte sur l'unicité de l'application $n$-linéaire donc il faut en prendre 2 et voir qu'elles sont égales.

Et ton deuxième point euh ben en effet $\mathcal{B}$ peut être quelconque et donc..?

Adam


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J. von Neumann

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#4 05-02-2021 22:07:06

danielrene
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Messages : 6

Re : Formes multilinéaires alternées

Bonsoir Chlore au quinoa,

Excusez mon retard pour absence.
J'ai bien compris. C'est f qui est unique et non k qui est fixé.
Un grand merci

Daniel René

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