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#1 27-01-2021 23:36:30

Omhaf
Membre
Inscription : 16-01-2020
Messages : 125

Constante de Kaprekar

Bonjour mes amis
Je viens de découvrir la constante de Kaprekar
Elle consiste à prendre n'importe quel nombre à 4 chiffres (sauf un nombre avec les mêmes chiffres)

Disposer le nombre du chiffre le plus grand au plus petit et en soustraire le même nombre classé à l'envers( du plus petit au plus grand)
soustraire le 2éme nombre du premier
Après quelques étapes le résultat sera 6174 qui est la constante de Kaprekar
Exemple
1973
classer du plus grand au plus petit donne 9731
classer du plus petit au plus grand donne 1379
9731-1379=8352
répéter l'opération avec 8352
8532-2358= 6174  constante de Kaprekar
et ceci s'applique à tous les nombres à 4 chiffres sauf l'exception mentionnée plus haut

Ce que j'ai découvert est que lorsqu'on additionne les nombres on aboutit toujours à 2 constantes soit 9108 soit 10890
Mais ce qui est étonnant est que les 2 constantes contiennent toutes  les chiffres 0,1,8 et 9
J'espère lire vos commentaires sur la question, Merci
@+

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#2 28-01-2021 15:54:25

Omhaf
Membre
Inscription : 16-01-2020
Messages : 125

Re : Constante de Kaprekar

Re,
Encore une remarque quoique le sujet que j'ai posté n'est pas d'une intelligence suffisante pour attiser les participations ;) :
9108+10890=19998
19998/2 =9999
Ce nombre apparaît très souvent dans la succession des additions
@+.

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#3 28-01-2021 17:46:05

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 628

Re : Constante de Kaprekar

Bonsoir,

Pas vu...
1ere remarque qui me vient en tête.
Soit un nombre $\overline{abcd}$ avec a>b>c>d
$\overline{abcd}-\overline{dcba} = 1000a + 100b+10c+d -(1000d+100c+ 10b+a)= 1000(a-d) + 100(b-c)+10(c-b)+(d-a)$

$\overline{abcd}-\overline{dcba} = 1000(a-d) -(a-d)+100(b-c)-10(b-c)=999(a-d)+90(b-c)$

$\overline{abcd}-\overline{dcba} =9[111(a-d)+10(b-c)]$

Tu obtiens toujours un multiple de 9...

@+


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#4 28-01-2021 20:17:47

Omhaf
Membre
Inscription : 16-01-2020
Messages : 125

Re : Constante de Kaprekar

Bonsoir,
Merci yoshi d'avoir mis la question en modèle mathématique
A un niveau moins académique permets-moi de noter les coïncidences suivantes:
9999-9108=891  les mêmes chiffres  1 8 et 9
10890-9999=891 idem
9999 est donc équidistante entre 10890 et 9108

Que veut dire tout ça ?
@+

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#5 31-01-2021 12:50:14

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 124

Re : Constante de Kaprekar

Bonjour !

une remarque, sans avoir trop réfléchi, comme Yoshi l'a montré en numération décimal, cela dépend-il de la numération choisie ?

En base 2, le paysage me paraît triste ...

Bernard-maths

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#6 31-01-2021 19:09:07

Omhaf
Membre
Inscription : 16-01-2020
Messages : 125

Re : Constante de Kaprekar

Bonsoir,
mon étonnement se limite à la coïncidence dans la base décimale
Merci

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#7 01-02-2021 11:41:29

Omhaf
Membre
Inscription : 16-01-2020
Messages : 125

Re : Constante de Kaprekar

Bonjour,
Juste une rectification exigée par la rigueur mathématique est l'apparition permanente ds 4 mêmes chiffres 0,1,8,9 (n'oublions pas le zéro)
avec 1+8=9   et  0+9=9
Chiffres complémentaires à 9
Ajoutons également ceci :
Pour les nombres à 3 chiffres
Exemple :

921-129=792      et 921+129 =1050   
972-279=693      et 972+279 =1251
963-369=594      et 963+369 =1332
954-459=495      et 954+459 =1413

1413-495=918=0918
1413+495=1908
@+

Dernière modification par Omhaf (03-02-2021 04:41:24)

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