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Discussion fermée
#1 14-01-2021 18:24:28
- Gui
- Invité
Integrale
Bonjour à tous,
J'aimerai élucider une interrogation concernant les integrales:
Est ce que si il existe une fonction f(x) telle que
[tex]\int_{0}^{R}f(x)dx = \frac{R^{2}}{2}[/tex] pour tous R>0
alors on a forcement [tex]f(x)=x[/tex] ?
Ou bien peut il exister une autre fonction [tex]f(x)\neq x[/tex] ?
Merci beaucoup
#2 14-01-2021 18:35:09
- valoukanga
- Membre
- Inscription : 30-11-2019
- Messages : 196
Re : Integrale
Bonjour !
Non absolument pas, tu peux trouver plein de contre-exemples : par exemple, la fonction $f$ qui vaut $1000$ en $\frac R2$ et $x$ partout ailleurs satisfait ton égalité.
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#3 14-01-2021 18:44:50
- Gui
- Invité
Re : Integrale
Bonjour, on ne s'est pas bien compris, l'égalité doit être vérifiée pour tous R>0 .
merci
#4 14-01-2021 19:25:47
- Gui
- Invité
Re : Integrale
Re,
Il y'a la fonction évidente f(x)=R/2, Existe t-il d'autres fonctions (continues)?
MErci
Bonne soirée
#5 14-01-2021 21:57:10
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 566
Re : Integrale
Bonsoir,
Si tu dérives par rapport à $R$ la relation $\displaystyle \int_0^R f(x) \, dx = \frac{R²}{2}$ tu devrais répondre à ta question.
Roro.
Dernière modification par Roro (14-01-2021 21:57:57)
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#6 15-01-2021 12:05:24
- Gui
- Invité
Re : Integrale
Bonjour, oui j'ai pensé à ça ce qui prouve bien que f(x) = x est la seule fonction possible (ne pas tenir compte de mon précédent message) mais je n'en était pas certain, vous confirmez donc?
Merci
#7 15-01-2021 12:09:18
- Chlore au quinoa
- Membre
- Inscription : 06-01-2021
- Messages : 305
Re : Integrale
Salut !
Quand tu dérives l'expression ça te donne bien $f(R)$, et de l'autre côté $R$. Donc tu peux affirmer que "si une solution existe, c'est bien $x\mapsto x$ ". Il te reste la partie la plus facile pour en déduire que cette fonction est bien solution :)
Adam
Dernière modification par Chlore au quinoa (15-01-2021 12:10:08)
"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."
J. von Neumann
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#8 15-01-2021 12:49:27
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 471
Re : Integrale
Bonjour,
Que penses-tu de f(x) = R*sin²(Pi*x/R) ?
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#9 15-01-2021 13:32:33
- Gui
- Invité
Re : Integrale
Je pense que l'égalité est vérifiée pour R uniquement , elle le doit être pour tout R.
Merci Chlore
#10 15-01-2021 14:56:57
- Chlore au quinoa
- Membre
- Inscription : 06-01-2021
- Messages : 305
Re : Integrale
Attends attends il semble que j'ai raconté n'importe quoi !
Black Jack a comme d'habitude fait une contribution super intéressante... Je ne comprends pas l'erreur de raisonnement :
$\text{Soit} \,R \in \mathbb{R},\,\int_0^R\,f(x)\,\text{d}x = \dfrac{R^2}{2} \text{donc}\, f(R) = R$... A quel moment cette implication est fausse ? Pourtant ta fonction a bien une intégrale qui vaut $\dfrac{R^2}{2}$ , je suis en train de liquéfier mon cerveau à réfléchir à cela...
Dernière modification par Chlore au quinoa (15-01-2021 14:58:10)
"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."
J. von Neumann
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#11 15-01-2021 15:18:03
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 090
Re : Integrale
Bonjour,
Re,
Il y'a la fonction évidente f(x)=R/2, Existe t-il d'autres fonctions (continues)?
MErci
Bonne soirée
$f(x)=R-x$, et d'une manière générale les fonctions affines de type $f(x)=ax+\frac{1-a}{2}R$ par exemple..
Dernière modification par Zebulor (15-01-2021 15:33:14)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#12 15-01-2021 17:49:25
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 058
Re : Integrale
Hello
Le problème vient du quantificateur pour tout R...
R n'est pas un réel fixé on ne peut pas définir une fonction à partir de R et le raisonnement en derivant est valable (et on peut dériver car l'égalité est vraie pour tout R).
F
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#13 16-01-2021 10:01:32
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 471
Re : Integrale
Hello
Le problème vient du quantificateur pour tout R...
R n'est pas un réel fixé on ne peut pas définir une fonction à partir de R et le raisonnement en derivant est valable (et on peut dériver car l'égalité est vraie pour tout R).
F
Bonjour,
Pour moi, R est un paramètre.
Il peut prendre n'importe quelle valeur ... mais il reste constant au cours des calculs.
Et donc avec f(x) = R*sin²(Pi*x/R) ... R étant une constante quelconque (donc pour tout R) , on a bien [tex]\int_0^R f(x) dx = \frac{R^2}{2}[/tex]
Si on ne pouvait pas définir une fonction à partir de R, alors la solution proposée par Gui, le 14-01-2021 17:25:47, soit f(x) = R/2 ne pourrait pas non plus être acceptée.
Non ?
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#14 16-01-2021 17:37:02
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 058
Re : Integrale
Si je lis l'énoncé original, on parle de trouver une fonction $f$ telle que, pour tout $R>0$, .....
Le paramètre $R$ n'est pas fixé avant la fonction $f$, on a la suite de quantificateurs $\exists f,\ \forall R>0$ et non $\forall R>0,\ \exists f$...
Et donc non, la fonction $f(x)=R/2$ ne peut pas convenir.
F.
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#15 16-01-2021 18:24:27
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 471
Re : Integrale
Si je lis l'énoncé original, on parle de trouver une fonction $f$ telle que, pour tout $R>0$, .....
Le paramètre $R$ n'est pas fixé avant la fonction $f$, on a la suite de quantificateurs $\exists f,\ \forall R>0$ et non $\forall R>0,\ \exists f$...Et donc non, la fonction $f(x)=R/2$ ne peut pas convenir.
F.
Bonjour,
OK, c'est une manière de voir les choses, mais ce que tu as écrit est une interprétation de l'énoncé.
Et je pense qu'il y a d'autres interprétations possibles à partir du texte de l'énoncé (comme considérer R comme paramètre).
Seul Guy devrait savoir ce qu'il désire vraiment... il pourrait par exemple expliquer pourquoi il propose f(x) = R/2 comme fonction correspondant à son énoncé.
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#16 16-01-2021 18:57:38
- Gui
- Invité
Re : Integrale
Bonjour,
Black Jack j'ai dis dans le message 6 ne as tenir compte de mon message 4 , je m'étais trompé en proposant f = R/2 mais n'ai pas pu revenir en arrière .
Merci à tous
Gui
#17 17-01-2021 19:33:22
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 090
Re : Integrale
Bonsoir,
@Black Jack : l'argument de Fred dans son post #14 me semble imparable
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
Hors ligne
#18 29-01-2021 03:32:29
- Tadrist
- Invité
Re : Integrale
D=( x²+y²-2x inférieur ou égale à 0)
Est un disque de centre (1,0) rayon 1 on est d'accord pour ça
Mais quand on utilise changement a coordonnées polaire on trouve r entre 0 et 2cos(téta)
J'ai pas compris svp aide moi
#19 29-01-2021 09:47:24
- Wiwaxia
- Membre
- Lieu : Paris 75013
- Inscription : 21-12-2017
- Messages : 412
Re : Integrale
Bonjour,
Je crois qu'on a répondu dès le début de l'échange (#5) à la question:
... Si tu dérives par rapport à $R$ la relation $\displaystyle \int_0^R f(x) \, dx = \frac{R²}{2}$ tu devrais répondre à ta question ...
et que le piège à éviter est celui de la notation.
Soit la fonction: $ g(x) = \displaystyle \int_0^x f(t) \, dt = \frac{x²}{2}$ ;
il vient par dérivation: $ g'(x) = f(x) = x $ ;
Il n'y a donc qu'une seule solution pour la fonction en cause.
Dernière modification par Wiwaxia (29-01-2021 09:51:39)
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