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#1 14-01-2021 16:24:28

Gui
Invité

Integrale

Bonjour à tous,

J'aimerai élucider une interrogation concernant les integrales:

Est ce que si il existe une fonction f(x) telle que

[tex]\int_{0}^{R}f(x)dx = \frac{R^{2}}{2}[/tex] pour tous R>0

alors on a forcement [tex]f(x)=x[/tex] ?

Ou bien peut il exister une autre fonction [tex]f(x)\neq x[/tex] ?

Merci beaucoup

#2 14-01-2021 16:35:09

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 194

Re : Integrale

Bonjour !

Non absolument pas, tu peux trouver plein de contre-exemples : par exemple, la fonction $f$ qui vaut $1000$ en $\frac R2$ et $x$ partout ailleurs satisfait ton égalité.

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#3 14-01-2021 16:44:50

Gui
Invité

Re : Integrale

Bonjour, on ne s'est pas bien compris, l'égalité doit être vérifiée pour tous R>0 .

merci

#4 14-01-2021 17:25:47

Gui
Invité

Re : Integrale

Re,

Il y'a la fonction évidente f(x)=R/2, Existe t-il d'autres fonctions (continues)?

MErci

Bonne soirée

#5 14-01-2021 19:57:10

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 005

Re : Integrale

Bonsoir,
Si tu dérives par rapport à $R$ la relation $\displaystyle \int_0^R f(x) \, dx = \frac{R²}{2}$ tu devrais répondre à ta question.
Roro.

Dernière modification par Roro (14-01-2021 19:57:57)

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#6 15-01-2021 10:05:24

Gui
Invité

Re : Integrale

Bonjour, oui j'ai pensé à ça ce qui prouve bien que f(x) = x est la seule fonction possible (ne pas tenir compte de mon précédent message) mais je n'en était pas certain, vous confirmez donc?

Merci

#7 15-01-2021 10:09:18

Chlore au quinoa
Membre
Inscription : 06-01-2021
Messages : 207

Re : Integrale

Salut !

Quand tu dérives l'expression ça te donne bien $f(R)$, et de l'autre côté $R$. Donc tu peux affirmer que "si une solution existe, c'est bien  $x\mapsto x$ ". Il te reste la partie la plus facile pour en déduire que cette fonction est bien solution :)

Adam

Dernière modification par Chlore au quinoa (15-01-2021 10:10:08)


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

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#8 15-01-2021 10:49:27

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 242

Re : Integrale

Bonjour,

Que penses-tu de f(x) = R*sin²(Pi*x/R) ?

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#9 15-01-2021 11:32:33

Gui
Invité

Re : Integrale

Je pense que l'égalité est vérifiée pour R uniquement , elle le doit être pour tout R.

Merci  Chlore

#10 15-01-2021 12:56:57

Chlore au quinoa
Membre
Inscription : 06-01-2021
Messages : 207

Re : Integrale

Attends attends il semble que j'ai raconté n'importe quoi !

Black Jack a comme d'habitude fait une contribution super intéressante... Je ne comprends pas l'erreur de raisonnement :

$\text{Soit} \,R \in \mathbb{R},\,\int_0^R\,f(x)\,\text{d}x = \dfrac{R^2}{2} \text{donc}\, f(R) = R$... A quel moment cette implication est fausse ? Pourtant ta fonction a bien une intégrale qui vaut $\dfrac{R^2}{2}$ , je suis en train de liquéfier mon cerveau à réfléchir à cela...

Dernière modification par Chlore au quinoa (15-01-2021 12:58:10)


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

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#11 15-01-2021 13:18:03

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 1 122

Re : Integrale

Bonjour,

Gui a écrit :

Re,

Il y'a la fonction évidente f(x)=R/2, Existe t-il d'autres fonctions (continues)?

MErci

Bonne soirée

$f(x)=R-x$, et d'une manière générale les fonctions affines de type $f(x)=ax+\frac{1-a}{2}R$ par exemple..

Dernière modification par Zebulor (15-01-2021 13:33:14)

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#12 15-01-2021 15:49:25

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 866

Re : Integrale

Hello

  Le problème vient du quantificateur pour tout R...

R n'est pas un réel fixé on ne peut pas définir une fonction à partir de R et le raisonnement en derivant est valable (et on peut dériver car l'égalité est vraie pour tout R).

F

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#13 16-01-2021 08:01:32

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 242

Re : Integrale

Fred a écrit :

Hello

  Le problème vient du quantificateur pour tout R...

R n'est pas un réel fixé on ne peut pas définir une fonction à partir de R et le raisonnement en derivant est valable (et on peut dériver car l'égalité est vraie pour tout R).

F

Bonjour,

Pour moi, R est un paramètre.
Il peut prendre n'importe quelle valeur ... mais il reste constant au cours des calculs.

Et donc avec  f(x) = R*sin²(Pi*x/R) ...  R étant une constante quelconque (donc pour tout R) , on a bien [tex]\int_0^R f(x) dx = \frac{R^2}{2}[/tex]

Si on ne pouvait pas définir une fonction à partir de R, alors la solution proposée par Gui, le 14-01-2021 17:25:47, soit  f(x) = R/2 ne pourrait pas non plus être acceptée.

Non ?

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#14 16-01-2021 15:37:02

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 866

Re : Integrale

Si je lis l'énoncé original, on parle de trouver une fonction $f$ telle que, pour tout $R>0$, .....
Le paramètre $R$ n'est pas fixé avant la fonction $f$, on a la suite de quantificateurs $\exists f,\ \forall R>0$ et non $\forall R>0,\ \exists f$...

Et donc non, la fonction $f(x)=R/2$ ne peut pas convenir.

F.

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#15 16-01-2021 16:24:27

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 242

Re : Integrale

Fred a écrit :

Si je lis l'énoncé original, on parle de trouver une fonction $f$ telle que, pour tout $R>0$, .....
Le paramètre $R$ n'est pas fixé avant la fonction $f$, on a la suite de quantificateurs $\exists f,\ \forall R>0$ et non $\forall R>0,\ \exists f$...

Et donc non, la fonction $f(x)=R/2$ ne peut pas convenir.

F.

Bonjour,

OK, c'est une manière de voir les choses, mais ce que tu as écrit est une interprétation de l'énoncé.

Et je pense qu'il y a d'autres interprétations possibles à partir du texte de l'énoncé (comme considérer R comme paramètre).

Seul Guy devrait savoir ce qu'il désire vraiment... il pourrait par exemple expliquer pourquoi il propose f(x) = R/2 comme fonction correspondant à son énoncé.

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#16 16-01-2021 16:57:38

Gui
Invité

Re : Integrale

Bonjour,

Black Jack j'ai dis dans le message 6 ne as tenir compte de mon message 4 , je m'étais trompé en proposant f = R/2 mais n'ai pas pu revenir en arrière .

Merci à tous

Gui

#17 17-01-2021 17:33:22

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 1 122

Re : Integrale

Bonsoir,
@Black Jack : l'argument de Fred dans son post #14 me semble imparable

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#18 29-01-2021 01:32:29

Tadrist
Invité

Re : Integrale

D=( x²+y²-2x inférieur ou égale à 0)
Est un disque de centre (1,0) rayon 1 on est d'accord pour ça
Mais quand on utilise changement a coordonnées polaire on trouve r entre 0 et 2cos(téta)
J'ai pas compris svp aide moi

#19 29-01-2021 07:47:24

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 204

Re : Integrale

Bonjour,

Je crois qu'on a répondu dès le début de l'échange (#5) à la question:

Roro a écrit :

... Si tu dérives par rapport à $R$ la relation $\displaystyle \int_0^R f(x) \, dx = \frac{R²}{2}$ tu devrais répondre à ta question ...

et que le piège à éviter est celui de la notation.

Soit la fonction:     $ g(x) = \displaystyle \int_0^x f(t) \, dt = \frac{x²}{2}$ ;

il vient par dérivation:  $ g'(x) = f(x) = x $ ;

Il n'y a donc qu'une seule solution pour la fonction en cause.

Dernière modification par Wiwaxia (29-01-2021 07:51:39)

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