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#1 26-01-2021 16:17:26

Red_Y17
Membre
Inscription : 22-01-2021
Messages : 23

Continuité, monotonie,injectivité,bijectivité

Salut tout le monde.

je veux savoir que si une fonction f était continue et strictement monotone sur I.

Est ce que f est injective seulement ou elle est aussi bijective?

Dernière modification par Red_Y17 (26-01-2021 16:18:17)

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#2 26-01-2021 16:24:07

valoukanga
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Messages : 194

Re : Continuité, monotonie,injectivité,bijectivité

Bonjour !

Injective oui, bijective ça dépend : elle est bijective sur $f(I)$ évidemment, mais pas sur $\mathbb R$ tout entier. Il te suffit de regarder le cas de la fonction exponentielle.

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#3 26-01-2021 17:41:43

Red_Y17
Membre
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Messages : 23

Re : Continuité, monotonie,injectivité,bijectivité

Je suis confus .Pouvez-vous m'expliquer d'une façon simplifié quand on peut dire que:

-f est injective
-f est bijective

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#4 26-01-2021 18:32:57

valoukanga
Membre
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Messages : 194

Re : Continuité, monotonie,injectivité,bijectivité

Je te rappelle les définitions formelles, je les explique juste après : Soit $f : A \longrightarrow B$ une application.

- $f$ est dite injective si : pour tout $(x,y) \in A^2$, $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$. Ainsi : $f$ est injective si et seulement si toute image a au plus un antécédent par $f$.
- $f$ est dite surjective si : pour tout $y \in B$, il existe $x \in A$ tel que $f(x) = y$. Ainsi : $f$ est surjective si et seulement si tout élément de $B$ a un antécédent par $f$.
- $f$ est dite bijective si elle est injective et surjective : tout élément de $B$ a exactement un antécédent.

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#5 26-01-2021 19:04:54

Red_Y17
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Messages : 23

Re : Continuité, monotonie,injectivité,bijectivité

Oui je connais bien ces définitions. Mais ce que  je ne connais pas c'est la relation entre la continuité, la monotonie stricte, l'injectivité, la surjectivité, et la bijectivité.

Dernière modification par Red_Y17 (26-01-2021 19:05:17)

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#6 26-01-2021 20:32:07

valoukanga
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Messages : 194

Re : Continuité, monotonie,injectivité,bijectivité

Tu peux montrer que si $f : I \longrightarrow \mathbb R$ est continue et monotone strictement alors $f$ est injective : c'est le point de départ de ta question.

Ce que j'ai rajouté dans mon premier message, je l'explique mieux maintenant. Pour toute application $g : A \longrightarrow B$, $g$ est automatiquement bijective sur son image $g(A)$ qui est défini comme l'ensemble des points de $B$ tels qui ont un antécédent par $f$. C'est évident sur la définition.

Ainsi, si on revient à ta question, on a alors que $f : I \longrightarrow f(I)$ est bijective, mais $f : I \longrightarrow \mathbb R$ n'est pas nécessairement bijective puisque l'on n'a pas nécessairement $f(I) = \mathbb R$.

C'est plus clair ?

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#7 28-01-2021 20:27:22

Red_Y17
Membre
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Messages : 23

Re : Continuité, monotonie,injectivité,bijectivité

Oh Oui c'est clair maintenant.

Merci beaucoup.

Dernière modification par Red_Y17 (28-01-2021 20:28:49)

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