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#1 20-01-2021 16:58:09

Jegombrendba
Invité

Cubes

Bonsoir,
Cela fait maintenant un petit moment que je suis bloqué sur ce "petit" problème :
"comment remplir exactement un cube avec 57 cubes (Niveau 1) puis avec 49 cubes (Niveau 2)?"
Ce serait très sympa si quelqu'un pouvait me guider un peu.
Merci d'avance,
Bonne soirée.

#2 21-01-2021 07:34:27

Matou
Invité

Re : Cubes

Bonjour,

J'ai juste une petite question : es-tu sûr que c'est bien 57 et non 27 ?

Cordialement

Matou

#3 21-01-2021 17:30:46

Jegombrendba
Invité

Re : Cubes

Oui c'est bien 57

#4 21-01-2021 20:16:16

Matou
Invité

Re : Cubes

Bonsoir,

Peux tu préciser la taille des cubes ?

Cordialement

Matou

#5 21-01-2021 20:18:32

Jegombrendba
Invité

Re : Cubes

C'est justement à nous de trouver.

#6 22-01-2021 06:36:28

Matou
Invité

Re : Cubes

Bonjour,

Tu veux dire que que si on prend 56 cubes d'arête 1 plus un cube d'arête 2 et qu'on les assemble pour obtenir un gros cube d'arête 4, ça répond à la première question ?

Matou

#7 22-01-2021 17:14:26

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 126

Re : Cubes

Bonsoir !

Moi je dis oui ! Puisque 56 + 8 = 64 ...

Alors il faut jouer avec les cubes ... ça rajeunit !

Pour ne pas mettre les pieds dans le plat, je vous laisse le niveau 2.

Cordialement, à plus tard.

Bernard-maths

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#8 23-01-2021 09:56:59

jpp
Membre
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Messages : 1 031

Re : Cubes

salut ,

Je conjecture qu'avec 49 cubes de diverses dimensions , en considérant que chaque cube a pour côté une valeur entière , il est impossible de construire un cube complet .
Si C est le plus gros , ou l'un des plus gros du jeu  , alors la quantité de cubes nécessaire est congrue à 1 (mod 7) .
Et c'est bien le cas pour 57 cubes ( 8 x 7 + 1 )  .
V = 7 x c³ + C  . ( ici C = 8 )
J'ai beau chercher avec  2C , 3C ...  je n'ai aucune solution avec 49 cubes . Je vais continuer à chercher avec un autre multiple de 7 ...

Ou alors , la solution est tellement évidente que ....

Dernière modification par jpp (23-01-2021 10:00:20)

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#9 23-01-2021 13:06:55

Bernard-maths
Membre
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Messages : 126

Re : Cubes

bonjour à tous !

Je veux bien vous indiquer des solutions, et comment faire ...
Mais ne va-t-on pas court-circuiter notre invité ?

Les nombres entiers : 1   2  3   4    5     6    7   8   9 ...
   
Leurs carrés :             1  4   9  16  25   36  49 64 81 ...

Leurs cubes :              1  8  27 64 125 216 343 ...


Alors reprenons le niveau 1 : on a 57 cubes, et il faut fabriquer le 1er cube "au dessus", donc atteindre 64 = 4^3 !

Avec des cubes de 1 de côté, ET un cube de 2 de côté, cela donne en tout 56 + 2^3 = 56 + 8 = 64 "petits cubes" pour un "gros de 64.

Remarquons qu'avec 57 cubes, si n se limite à 56 "petits", le 57ème tombe bien s'il a 2 de côté !

Ce genre de recherche me rappelle les équations diophantiennes, de Diophante, qui s'était intéressé aux problèmes d'équations dont les solutions sont des nombres entiers !

Il faut alors souvent réfléchir à faire des combinaisons de possibilités ...


Alors pour le niveau 2, que faire ?

On peut se dire : je vais utiliser p cubes de 1^3 =1, q cubes de 2^3=8, r cubes de 3^3=27, s cubes de 4^3=64, etc ... selon les cas ...
Et on doit bien sur avoir : p+q+r+s+ ... = n nombre de cubes disponibles !

Alors essayons : total de cubes = 49, donc le gros cube à faire peur être de 64, ou plus 125, ou plus 216, etc ...


On vient de voir qu'avec 57 cubes, on fait un "gros cube" de 64 avec p=56 et q=1 ... et on a p+q=57.
Avec p+q=49, que peut- faire ? 64 ou plus ?


jpp, la solution n'est pas évidente, cherche dans des cubes plus grands !

Je dois partir, à bientôt pour la suite !
Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (23-01-2021 13:39:03)

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#10 23-01-2021 19:23:08

jpp
Membre
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Messages : 1 031

Re : Cubes

salut Bernard-maths ;

j'ai bien une équation qui répond à une somme de 49 cubes de tailles 2 & 3 ; mais ce n'est toujours pas constructible .

Ils ne sont pas empilables dans mon cube de taille 10 .

[tex]32\times3^3 + 17\times2^2 = 10^3[/tex] 

Tu dois avoir une autre équation ; je continue à chercher .

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#11 23-01-2021 20:28:59

Bernard-maths
Membre
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Messages : 126

Re : Cubes

Bonsoir jpp, ... Jegombrendba !

En quelle classe a-t-on posée cette énigme Jegombrendba ?

Pour ma part je procède par essais successifs, en commençant par un "gros" mais qui laisse assez pour les autres et le total de cubes disponibles ...

Ainsi, je n'ai rien trouvé avec des cubes d'arête 1 et 2, ni 3 ...

Donc je suis passé à 5^3 = 125, et comment le remplir. Rien trouvé, à vérifier !

Alors je suis passé à 6^3 = 216. Hier soir, j'ai trouvé une solution dans mon lit vers 23h ... p=36, q=9 et r=4.

Cela fait 36*1 + 9*8 + 4*27 = 36 + 72 + 108 = 216 ; et 36 + 9 + 4 = 49 ! Donc Ok !


Entre temps, j'ai aussi trouvé une autre question niveau 3? possible, avec 50 cubes, pour s'amuser ?

Ce genre de problème n'est pas facile, je ne connais pas d'algorithme de recherche, sinon par essais successifs.


Comme je participe à des activités extra scolaires pour les "petits" du primaire, on a des activités de constructions de cubes avec des polyèdres composés de cubes, les tétraminos, les cubes visualisant les identités remarquables ... etc.

Par exemple (3+2)^3=3^3 + 3*3²*2 + 3*3*2² + 2^3, représentée par un cube d'arête 3, 3 polyèdres de 3*3*2, 3 autres de 3*2*2, et un dernier d'arête 2.


Bravo quand même, jpp, tu as trouvé une solution pour 10^3 ! Combien y en a-t-il en tout ? Bonne question ...


Alors, Jegombrendba, cela peut-il t'aider ? J'espère ...


Cordialement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (23-01-2021 20:32:46)

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#12 23-01-2021 22:21:12

Matou
Invité

Re : Cubes

Bonjour,

il me semble que j'ai une ébauche d'algo.

Je pars de 49 cubes d'arête 1.
  Je cherche à remplir un gros cube d'arête 4 (donc, de volume 64).
    Je supprime un cube d’arête 1. J'ai 48 cube d'arête 1 et un cube qui devrait avoir un volume de 64-49+1. Impossible car 16 n'est pas un cube.
    Je supprime 2 cubes. Je dois les remplacer par 2 cubes dont la somme des volumes est 64-49+2. Or 17, ne peut se mettre sous la forme de 2 cubes.
    Je supprime 3 cubes. Je dois les remplacer par 3 cubes dont la somme des volumes est 64-49+3. Or 18, ne peut se mettre sous la forme de 3 cubes.
    Et ainsi de suite...
    On s'aperçoit assez vite qu'il y a peu de cas à tester.
  Je recommence la même démarche avec un gros cube d'arête 5 (donc de volume 125).
  Puis avec un gros cube d'arête 6.....

J’essaye de construire un code qui met cet algorithme en œuvre, Toutefois, je n'ai pas trop de temps en ce moment pour cela, d'autant plus qu'il faut bien réfléchir aux bornes que l'on fixe pour rechercher les sommes de cubes sinon on risque de faire énormément de calculs pour rien.

Matou

#13 23-01-2021 22:24:25

Matou
Invité

Re : Cubes

Re,

désolé pour les fautes d'accord.

D'autre part, je ne sais pas vérifier si les solutions que j'obtiens sont constructibles.

Matou

#14 25-01-2021 20:28:10

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 126

Re : Cubes

Bonsoir !

Quand je recherche des solutions, je fais attention à la constructibilité ...

Par exemple pour le 6*6*6, je trouve à mettre une couche de 4 fois 3^3, surmontée d'une couche de 9 fois 2^3, et enfin une couche de 36 fois 1^3 ... C'est pas forcément évident, mais c'est au coup par coup !



Pour tes 32*3^3 + 17*2^3 = 10^3, il manque de 1^3 pour se glisser dans les "trous".

Car 10 = 3 + 2 + 2 + 2 + ? ; 10 = 3+3+2+2 OK, mais y'a plus assez de 2^3 !



Donc, pour le moment, pas évident pour moi ; il faut vérifier à chaque cas !


Bonsoir, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (25-01-2021 20:34:38)

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#15 25-01-2021 21:54:31

Max_F
Invité

Re : Cubes

Bonsoir !
Je ne suis pas trop satisfait avec la réponse concernant les 57 cubes déjà.
Certes, 56 x 1^3 + 1 x 2^3  = 64 = 4^3, donc la somme des volumes des "petits" cubes donne bien le volume d'un grand cube.
Mais cela ne suffit pas ! Par exemple, on a pour tout a, b > 0 que  a^3 + b^3 = c^3  avec un certain c, or, on ne pourra jamais faire un cube avec deux cubes !  Et le problème n'est pas que ce seraient des réels et non entiers !
Par exemple, avec un carré  3 x 3 = 9 et un carré 4 x 4 = 16, on ne peut pas faire un carré 5 x 5 = 25 bien que la somme des "volumes" (ici aires) correspond. Il faut aussi montrer que c'est géométriquement possible de disposer les carrées (ou cubes) pour former un cube.
Certes, quand les petits sont de taille 1^3 = 1, donc des cubes "unité", et qu'il n'y a qu'un seul autre cube, on est sûr de pouvoir "remplir" le grand cube en plaçant d'abord le moyen cube puis remplir avec des petits cubes.
Mais cela n'est pas vrai "automatiquement" dès on a plus qu'un seul cube de taille > 1^3.
Or, ce "détail" (absolument essentiel !) n'est pas du tout évoqué...

- Max

#16 25-01-2021 22:12:40

Max_F
Invité

Re : Cubes

PS: Oups, vous pouvez ignorer mon commentaire, j'ai compris que c'est ce que vous appelez "constructible".
On remarquera que Bernard a donné une décomposition de 49 en somme de carrés pour faire ses "couches".
Il avait de la chance que 49 = 4 x 3^2, 9 x 2^2 et 36 x 1^2 donnent tous les trois la même aire 36.
(Et une fois de plus les plus petits sont des cubes unités qui permettent de "boucher" tout trou éventuel.)
C'est une condition suffisante mais pas nécessaire ! par exemple, on aurait pu utiliser une couche incomplète de 8 x 2^2 et remplir le trou de 2^3 par 8 cubes, pour trouver une solution pour 56 au lieu de 49 ou 57.
Encore pire, on pourrait bien s'imaginer une solution qui ne peut pas du tout se décomposer en couches, même pas en deux (par exemple).

Donc il semble que dans le cas général, il faut (l'algorithme doit) vraiment tout vérifier, y compris toutes les différentes dispositions possibles des cubes de remplissage (à part les cubes 1^3 qui pourront toujours combler tous les trous restants à la fin).

- Max

#17 25-01-2021 22:15:58

Max_F
Invité

Re : Cubes

Re-Oups, lire "49 = 4+9+36 est une somme de carrés et 4 x 3^2, ..."

#18 27-01-2021 20:57:15

Bernard-maths
Membre
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Messages : 126

Re : Cubes

Bonsoir !

AorsMax_F, j'ai de la chance de mettre "en couche" ?

J'ai écrit : Entre temps, j'ai aussi trouvé une autre question niveau 3? possible, avec 50 cubes, pour s'amuser ?


Eh bien là, il n'y a pas de couches, c'est du gros mélange !


Donc amusant à chercher ...

Bonne soirée, Bernard-maths

Hors ligne

#19 28-01-2021 09:55:46

jpp
Membre
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Messages : 1 031

Re : Cubes

salut ;

50 est un nombre congru à 1 (mod 7) ; donc la solution est la même que pour des quantités comme : 8 , 15 , 22 ..... 50 , 57 .... 2017 ...7n+1

On part d'un cube 2³ ; on laisse définitivement 7 cubes de côté ; on divise à nouveau le huitième cube en 8 cubes ; à ce stade on a résolu
le problème à 15 cubes .
On continue : on laisse à nouveau de côté 7 cubes intermédiaires et on divise le 15 ième cube en 8 nouveau cube .... etc ...
Comme ça on continue et on s'arrête à la quantité demandée  7n + 1 ( septième étape avec 50 cubes demandés )
Dans ce cas , si on considère les huit petits cubes comme étant les cubes unité , sauf erreur , le cube contenant a donc pour arrête : 128 .
On peut continuer avec Q = 57 , puisqu'il suffit d'ajouter 7 cubes d'arrête 128 , le cube final double l'arrête de 128 -> 256 .


pour 57 on peut procéder autrement et par la même occasion pour 50 .
On part du cube unité c1  . Pour arriver au cube supérieur C2 = 2³  On ajoute une couche sur 3 faces .
cette première couche , c'est 6 X T1 + 1  = 7 où T1 est le premier nombre triangulaire .
si on ajoute une seconde couche , T2 = 3 car  3 est le second nombre triangulaire . Cette seconde couche vaut donc : 6 x 3 + 1 = 19
De la même façon la troisième couche vaudra : 6 x 6 + 1 = 37   .
On totalise bien :  1 + 7 + 19 + 37 = 64 = 4³   .  Soit 64 cubes unitaires . Maintenant rien ne nous empêche de fabriquer 1 , 2  ....7  ou 8 cubes 2³  .
Et à chaque fois on retranchera 7 cubes  = 8 - 1 
Donc avec 2 cubes 2³  totalisant un volume de  16 cubes unité ,  on retire bien 2 x 7 cubes , et le total des cubes est bien : 64 - 2 x 7 = 50
Dans ce cas on minimise bien la taille du cube contenant qui n'est plus que de 4³ = 64  . Avec cette taille on peut donc fabriquer un jeu de  15 , 22 , 29 , 36 , 43 , 50 , 57 ou 64 cubes .
Il y a déjà deux façons de procéder .

Dernière modification par jpp (28-01-2021 11:10:11)

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