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#1 23-01-2021 16:20:29

MathieuV
Membre
Inscription : 23-01-2021
Messages : 2

Trouver x tel que (x+1)ln(2x+1)=xln(3x)

Bonjour,

petit pb donné à des élèves de terminales turbulents,
cela me semble un peu corsé,
si vous aviez un début de piste, pour aiguiller ma recherche, je serais preneur

on est pas loin d'une formule en A.x.lnx +B.x +C,
qui, je l'ai lu sur un vieux post, était indiqué comme devant être résolu par approximation,
et/ou avec la fonction de Lambert

Est-ce ici aussi le cas d'après vous ?
par avance merci.

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#2 23-01-2021 20:24:47

Chlore au quinoa
Membre
Inscription : 06-01-2021
Messages : 209

Re : Trouver x tel que (x+1)ln(2x+1)=xln(3x)

Salut !

J'ai cherché pendant une petite demi-heure en essayant de bidouiller l'équation, puis avec une étude de fonction et de dérivée... Sans succès. Je ne pense pas que cette équation admette des solutions explicites. Je ne suis pas un pro en approximations numériques et ne sais pas si c'est requis ici, si ça se trouve un esprit astucieux parviendra à exhiber une solution... mais j'en doute.

Adam


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

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#3 23-01-2021 20:56:56

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 005

Re : Trouver x tel que (x+1)ln(2x+1)=xln(3x)

Bonsoir,

Les solutions de l'équation $Ax\ln(x)+Bx+C=0$ ne sont, en général, pas explicites.

On peut transformer l'équation de la façon suivante :

On divise par $A$ (si $A=0$, on sait faire...) :
$x\ln(x)+bx+c=0$ où $b=B/A$ et $c=C/A$.

qui est équivalent à
$x(\ln(x)+b) = -c$

Si on note $d=e^b$ alors on en déduit
$dx \ln(dx) = -cd$.

On peut alors utiliser la fonction de Lambert $W$ comme évoquait MathieuV :
$dx = W(-cd)$

donc $\displaystyle x=\frac{W(-cd)}{d}$.

En revenant aux paramètres du début :
$$\displaystyle x=W\Big( -\frac{C}{A} \mathrm e^{\frac{B}{A}}\Big) \mathrm e^{-\frac{B}{A}}.$$

Roro.

Dernière modification par Roro (23-01-2021 20:59:45)

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#4 24-01-2021 19:50:49

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 127

Re : Trouver x tel que (x+1)ln(2x+1)=xln(3x)

Bonsoir à tous !

Avez-vous penser à tracer les fonctions ?

Ca peut ... aider un peu quand on voit les courbes ...

Une solution approchée à justifier, et pas d'autre, à justifier aussi ???

Ou bien une autre par prolongement par continuité ?


Je vais chercher moi aussi !

Cordialement, Bernard-maths

PS : je ne connais pas la fonction de Lambert !

Dernière modification par Bernard-maths (24-01-2021 20:26:31)

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#5 25-01-2021 08:32:16

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 204

Re : Trouver x tel que (x+1)ln(2x+1)=xln(3x)

Bonjour,

L'équation A.x.lnx + B.x + C = 0 peut aussi s'écrire x = -C/(A.Ln(x) + B) pour tout (x) non nul et différent de exp(-B/A), ce dernier cas particulier entraînant d'ailleurs C = 0 .

La solution approchée peut être donnée par la limite de la suite itérative uk+1 = -C/(A.Ln(uk) + B) .

La condition de convergence d'une suite vérifiant la relation de récurrence uk+1 = F(uk) est |F'(x)| < 1  .

Exemple numérique: A = 3 , B = 5 , C = -7 , x0 = 1 :
la limite est L = 1.239  975 208 255 0 .

Dernière modification par Wiwaxia (25-01-2021 09:36:37)

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#6 25-01-2021 09:05:52

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 204

Re : Trouver x tel que (x+1)ln(2x+1)=xln(3x)

Je redécouvre la fonction donnée dans le titre

Trouver x tel que (x+1)ln(2x+1)=xln(3x)

et qui n'a qu'un rapport lointain avec la précédente.

Pour l'équation x = Ln(2x + 1)/(Ln(3x) - Ln(2x + 1))
l y a apparemment 2 solutions: 0 (à la limite), et a > 1.

On trouve par la même méthode, et en partant de x0 = 2: xk - xk-1 = 0 à partir de k = 17 ,

et a = 8.258 799 668 915 4 .

Dernière modification par Wiwaxia (25-01-2021 09:08:00)

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#7 25-01-2021 11:07:25

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 127

Re : Trouver x tel que (x+1)ln(2x+1)=xln(3x)

Bonjour !

Bonne réponse Wiwaxia !

Je n'arrive pas à joindre mon image par Cjoint !!!

Mais oui on peut prolonger en 0 par continuité, ce qui donnerait 0 comme solution ;
Et pour la deuxième, ma résolution graphique donne x = 8.58 795 623 1

La méthode par itération se fait "en escalier" ici. Dans d'autres circonstances, on peut avoir une convergence "en colimaçon" ...

Bonne journée, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (25-01-2021 11:09:01)

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#8 27-01-2021 09:48:50

MathieuV
Membre
Inscription : 23-01-2021
Messages : 2

Re : Trouver x tel que (x+1)ln(2x+1)=xln(3x)

Bonjour et merci à tous,
pour la résolution itérative et approchée,
je vous rejoins c'était aussi mon résultat,
je vois que pour la résolution formel,
on est tous un peu court et je vais donc me contenter de l'approximation.

encore merci.

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