Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
Discussion fermée
#1 26-01-2021 17:17:26
- Red_Y17
- Membre
- Inscription : 22-01-2021
- Messages : 34
Continuité, monotonie,injectivité,bijectivité
Salut tout le monde.
je veux savoir que si une fonction f était continue et strictement monotone sur I.
Est ce que f est injective seulement ou elle est aussi bijective?
Dernière modification par Red_Y17 (26-01-2021 17:18:17)
Hors ligne
#2 26-01-2021 17:24:07
- valoukanga
- Membre
- Inscription : 30-11-2019
- Messages : 196
Re : Continuité, monotonie,injectivité,bijectivité
Bonjour !
Injective oui, bijective ça dépend : elle est bijective sur $f(I)$ évidemment, mais pas sur $\mathbb R$ tout entier. Il te suffit de regarder le cas de la fonction exponentielle.
Hors ligne
#3 26-01-2021 18:41:43
- Red_Y17
- Membre
- Inscription : 22-01-2021
- Messages : 34
Re : Continuité, monotonie,injectivité,bijectivité
Je suis confus .Pouvez-vous m'expliquer d'une façon simplifié quand on peut dire que:
-f est injective
-f est bijective
Hors ligne
#4 26-01-2021 19:32:57
- valoukanga
- Membre
- Inscription : 30-11-2019
- Messages : 196
Re : Continuité, monotonie,injectivité,bijectivité
Je te rappelle les définitions formelles, je les explique juste après : Soit $f : A \longrightarrow B$ une application.
- $f$ est dite injective si : pour tout $(x,y) \in A^2$, $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$. Ainsi : $f$ est injective si et seulement si toute image a au plus un antécédent par $f$.
- $f$ est dite surjective si : pour tout $y \in B$, il existe $x \in A$ tel que $f(x) = y$. Ainsi : $f$ est surjective si et seulement si tout élément de $B$ a un antécédent par $f$.
- $f$ est dite bijective si elle est injective et surjective : tout élément de $B$ a exactement un antécédent.
Hors ligne
#5 26-01-2021 20:04:54
- Red_Y17
- Membre
- Inscription : 22-01-2021
- Messages : 34
Re : Continuité, monotonie,injectivité,bijectivité
Oui je connais bien ces définitions. Mais ce que je ne connais pas c'est la relation entre la continuité, la monotonie stricte, l'injectivité, la surjectivité, et la bijectivité.
Dernière modification par Red_Y17 (26-01-2021 20:05:17)
Hors ligne
#6 26-01-2021 21:32:07
- valoukanga
- Membre
- Inscription : 30-11-2019
- Messages : 196
Re : Continuité, monotonie,injectivité,bijectivité
Tu peux montrer que si $f : I \longrightarrow \mathbb R$ est continue et monotone strictement alors $f$ est injective : c'est le point de départ de ta question.
Ce que j'ai rajouté dans mon premier message, je l'explique mieux maintenant. Pour toute application $g : A \longrightarrow B$, $g$ est automatiquement bijective sur son image $g(A)$ qui est défini comme l'ensemble des points de $B$ tels qui ont un antécédent par $f$. C'est évident sur la définition.
Ainsi, si on revient à ta question, on a alors que $f : I \longrightarrow f(I)$ est bijective, mais $f : I \longrightarrow \mathbb R$ n'est pas nécessairement bijective puisque l'on n'a pas nécessairement $f(I) = \mathbb R$.
C'est plus clair ?
Hors ligne
#7 28-01-2021 21:27:22
- Red_Y17
- Membre
- Inscription : 22-01-2021
- Messages : 34
Re : Continuité, monotonie,injectivité,bijectivité
Oh Oui c'est clair maintenant.
Merci beaucoup.
Dernière modification par Red_Y17 (28-01-2021 21:28:49)
Hors ligne
Pages : 1
Discussion fermée