Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Dorian

Invité

Exemple Methodix réduction d’endomorphisme

Bonjour,

Voici un exemple présent dans le livre methodix algèbre sur le chapitre de la réduction d’endomorphismes. Je n’arrive vraiment pas à comprendre la conclusion de cet exemple lorsqu’ils déduisent les valeurs propres de À à partir des valeurs propres de J. Comment font-ils ?

Merci d’avance pour votre aide

https://postimg.cc/hh1306zc

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 057

Re : Exemple Methodix réduction d’endomorphisme

Bonjour,

  C'est en fait un résultat très général. Si $B$ est diagonalisable de valeurs propres $\lambda_1,\dots,\lambda_n$,
alors $aI+bB$ est diagonalisable de valeurs propres $a+b\lambda_1,\dots,a+b\lambda_n$.
Pour démontrer ceci, ou bien on raisonne à partir des noyaux :
$$\ker(A-(a+b\lambda_1) I)=\ker(bB-b\lambda_1 I)=\ker(B-\lambda_1 I)$$
ou alors, on écrit que
$B=PDP^{-1}$ avec $D$ diagonale,
donc
$$aI+bP=P(aI)P^{-1}+P(bD)P^{-1}=P(aI+bD)P^{-1}$$
et $aI+bD$ est diagonale....

F.

LCTD

Membre

Inscription : 21-11-2019

Messages : 85

Re : Exemple Methodix réduction d’endomorphisme

Bonjour,

voici mes calculs :

A= aI +b[tex]\begin{pmatrix} 0 &1&........&1\\1&0&........&1\\1&........\\1&........&0&1\\1&.......&1&0\end{pmatrix}[/tex]

soit A = aI -bI +b [tex]\begin{pmatrix} 1 &1&........&1\\1&1&........&1\\1&........\\1&........&1&1\\1&.......&1&1\end{pmatrix}[/tex]

j'appelle J=[tex]\begin{pmatrix} 1 &1&........&1\\1&1&........&1\\1&........\\1&........&1&1\\1&.......&1&1\end{pmatrix}[/tex]
remarque [tex]J^2[/tex]=nJ  et J est de rand 1

J est une matrice symétrique réelle, donc diagonalisable. J a donc n valeurs propres (distinctes ou avec multiplicités)

on applique le  théorème du rang (rg(f)+dim(kerf)=dim E) donc rg(J)+dim (ker J)=n donc dim (ker(J)=0 et donc
0 est une valeur propre de J de multiplicité n-1

ensuite :
1)le déterminant de j = le produit des valeurs propres (c'est un résultat de cour) : det(J)=0
2)la trace de j ( sommes des éléments de la diagonale) est la somme des valeurs propres (c'est un résultat de cour): nx1=[tex]0*n +\lambda[/tex] donc l'autre valeur propre est [tex]\lambda = n[/tex]

l'ensemble des valeurs propres de U est le specte de U SP={0,n}

pour trouver le s.e.v associé à KerU on résoud UX= 0 avec X=[tex]\begin{pmatrix} x_1 &\\x_2\\.\\.\\x_n\end{pmatrix}[/tex]

on trouve donc [tex]x_1+x_2+........+x_n = 0[/tex]

pour trouver le s.e.v associé à ImU on résoud UX= nX , on trouve [tex]x_1=x_2=........=x_n = 0[/tex] dont la base le vecteur [tex]\begin{pmatrix} 1 &\\1\\.\\.\\1\end{pmatrix}[/tex]

J est diagonalisable donc il existe une matrice de passage P telle que J=P^-1D P avec D matrice diagonale.
On a également I=P^-1I P

donc A = (a-b)P^-1I P +bP^-1D P = P^-1 ((a-b)I  +bD) P
(a-b)I  +bD est une matrice diagonale, donc A est diagonalisable,ses valeurs propres sont sur la diagonale D_A avec

D_A=(a-b)I  +bD =b[tex]\begin{pmatrix} a-b &0&........&0\\0&a-b&........&0\\0&........\\0&........&a-b&0\\0&.......&0&a-b+nb\end{pmatrix}[/tex]

LCTD

Membre

Inscription : 21-11-2019

Messages : 85

Re : Exemple Methodix réduction d’endomorphisme

erratum sur D_a au lieu de =b( lire =b. Idem j'ai mis U au lieu de J à certain endroit ( va savoir pourquoi?!).

LCTD

Membre

Inscription : 21-11-2019

Messages : 85

Re : Exemple Methodix réduction d’endomorphisme

Oups c'est dim(ker J)=n-1

Dorian

Invité

Re : Exemple Methodix réduction d’endomorphisme

Bonjour,
Merci beaucoup pour vos réponses j’ai maintenant compris. Juste je me demande pourquoi LCTD dans la matrice Da, nb est placé à l’indice (n,n). Comment le savez-vous ?
Merci d’avance

LCTD

Membre

Inscription : 21-11-2019

Messages : 85

Re : Exemple Methodix réduction d’endomorphisme

pour la matrice diagonale D il faut grouper les valeurs propres qui ont une multiplicité. Donc soit on place le 0 de multiplicité n-1 en premier (ce que j'ai fait) soit en dernier et alors nb se trouve en premier. Ce choix influe sur la matrice P de passage car sur une même colonne de P et de D se trouvent un vecteur propre et sa valeur correspondante.

Dorian

Invité

Re : Exemple Methodix réduction d’endomorphisme

D’accord j’ai compris merci !

Je ne sais pas si je peux me permettre de poser une autre question dans cette même discussion mais je n’arrive pas à comprendre la fin de cette partie là qui est aussi sur la réduction :

https://postimg.cc/0MBXYC0h

https://postimg.cc/SXZg4G3j

Tout est clair jusqu’au moment où ils disent « chaque espace propre associé est de dimension 1 et s’écrit sous la forme:... » (image 2)
Comment trouvent-ils le Vect ? J’ai essayé plusieurs fois avec le système de départ mais je n’arrive pas à trouver ce Vect.

Merci d’avance

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 057

Re : Exemple Methodix réduction d’endomorphisme

Re-

  Si tu regardes la $i$-ème ligne et la première, en faisant le quotient (sachant que $x_n\neq 0$), tu trouves
pour $i=1,\dots,n-1$, $x_i=\frac{a_i}{a_1}x_1$. Puis la première ligne te donne aussi $x_n=\frac{a_n}{a_1}x_1$.
Tu en déduis que $(x_1,\dots,x_n)=x_1(1,a_2/a_1,\cdots,a_{n-1}/a_1,\lambda/a_1)=\frac{x_1}{a_1}(a_1,a_2,\dots,a_{n-1},\lambda)$
d'où le résultat.

F.