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#1 19-01-2021 11:28:47

François.L
Invité

exercice sur les congruences

Bonjour,

Je révise un examen de L2 mathématiques (arithmétiques) et il y a un exercice des annales pour lequel je me trompe visiblement mais je ne vois pas ou. Je remercie ceux qui m'aideront à trouver mon erreur.

Je cherche à résoudre dans ℤ:
15x=6(mod 66) (a)

Ce que j'ai fait:

(a) donne 5x = 2 (mod22)
Soit 20x = -2x = 8 (mod 22)
Soit -x = 4 (mod 11)
et finalement x=-4 (mod 11).

Or, ce résultat est faut car 7 est bien congru à -4 modulo 11 alors que 15.7 n'est pas congru à 6 (mod 66).
J'ai donc trouvé un résultat faux mais je ne vois pas ou est mon erreur.
Encore merci pour votre aide.

#2 19-01-2021 18:37:33

LCTD
Membre
Inscription : 21-11-2019
Messages : 52

Re : exercice sur les congruences

Bonjour,

il me semble que 15x=-60 [66] donc x=-4[66]

Hors ligne

#3 19-01-2021 20:14:47

LCTD
Membre
Inscription : 21-11-2019
Messages : 52

Re : exercice sur les congruences

en regardant ce que vous avez écrit :  5x = 2 (mod22) je pense que vous ne pouvez mettre mod 22 vous devez laisser mod 66

Hors ligne

#4 19-01-2021 20:33:55

François.L
Invité

Re : exercice sur les congruences

Bonjour,

merci pour votre réponse. Je vais essayer mod 66.

#5 19-01-2021 20:47:46

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 629

Re : exercice sur les congruences

Bonsoir,

Petit test Python  : j'ai obtenu le 1er x positif :
x= 18  --> 15 * 18 = 270 , $270 \equiv 6 \quad [66]$ ;  $5 \times 18 = 90$ et $90 \equiv 2\quad |22]$
Les x suivants s'obtiennent par addition de 22.
La suite n'est pas nécessaire, c'est juste pour le fun...


x =  40      5 *  40 [22] = 2
x =  62      5 *  62 [22] = 2
x =  84      5 *  84 [22] = 2
x = 106      5 * 106 [22] = 2
x = 128      5 * 128 [22] = 2
x = 150      5 * 150 [22] = 2
x = 172      5 * 172 [22] = 2
x = 194      5 * 194 [22] = 2
x = 216      5 * 216 [22] = 2
x = 238      5 * 238 [22] = 2
x = 260      5 * 260 [22] = 2
x = 282      5 * 282 [22] = 2
x = 304      5 * 304 [22] = 2
x = 326      5 * 326 [22] = 2
x = 348      5 * 348 [22] = 2
x = 370      5 * 370 [22] = 2
x = 392      5 * 392 [22] = 2
x = 414      5 * 414 [22] = 2
x = 436      5 * 436 [22] = 2
x = 458      5 * 458 [22] = 2
x = 480      5 * 480 [22] = 2
x = 502      5 * 502 [22] = 2
x = 524      5 * 524 [22] = 2
x = 546      5 * 546 [22] = 2
.......      ................

C'est un clin d’œil à Chlore au quinoa pour "code=crypto"...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#6 19-01-2021 21:33:05

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 866

Re : exercice sur les congruences

Bonjour,

  Il faut réfléchir à ce que l'on fait quand on utilise des congruences, tout n'est pas autorisé. Par exemple, dans ce que tu as raconté,
tu n'as pas le droit d'ajouter des égalités quand les modulos sont différents. Autrement dit, tu n'as pas le droite
d'écrire 20x=8 (mod 22).

Mais ce que te dis LCTD est faux aussi : ce n'est pas parce que 15x = 6 (mod 66) que 5x=2 (mod 66) - en tout cas, il faudrait une justification supplémentaire. Par exemple, x=18 (le premier nombre trouvé par Yoshi) est un contre-exemple.
En revanche, si 15x=6 (mod 66), cela veut dire qu'il existe un entier $k$ tel que $15x=6+66k$. Tu peux diviser par 3 cette égalité,
tu obtiens $5x=2+22k$ et tu as bien 5x=3 (mod 22).

Maintenant, comme $5\wedge 22=1$, tu as dû voir dans ton cours comment, à l'aide de Bezout, résoudre cette équation.

F.

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#7 19-01-2021 21:56:16

LCTD
Membre
Inscription : 21-11-2019
Messages : 52

Re : exercice sur les congruences

@fred : dans mon poste de 20h14 "5x = 2 (mod22) je pense que vous ne pouvez mettre mod 22 vous devez laisser mod 66" voulait dire qu'il fallait écrire 5x = 2 (mod 66) et que 5x = 2 (mod22) était faux.

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#8 20-01-2021 00:44:14

François.L
Invité

Re : exercice sur les congruences

Re,

Tout d'abord, merci à tous.

Fred:
- lorsque j'écris 20x=8 (mod 22), je multiplie l'équation 5x = 2 (mod22)  par 4. Je n'ai pas le droit?
- lorsque tu écris: "tu obtiens 5x= 2+22k  et tu as bien 5x=3 (mod 22)", je ne comprends pas pourquoi le 2 deviens un 3, c'est une erreur?
- Enfin, que signifie 5∧22=1? Que pgcd(5,22)=1?

Merci encore

#9 20-01-2021 07:09:22

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 866

Re : exercice sur les congruences

François.L a écrit :

Re,

Tout d'abord, merci à tous.

Fred:
- lorsque j'écris 20x=8 (mod 22), je multiplie l'équation 5x = 2 (mod22)  par 4. Je n'ai pas le droit?

Non, tu n'as pas le droit :  20x=8 (mod 22) équivaut à  20x=8+22k pour un entier k équivaut à  5x=2+11 k/2 pour un certain k et il n'y a pas de raisons que 11k/2 soit un entier.

Plus généralement, si ax=ab (mod c), ce n'est pas toujours vrai que x=b (mod c).

- lorsque tu écris: "tu obtiens 5x= 2+22k  et tu as bien 5x=3 (mod 22)", je ne comprends pas pourquoi le 2 deviens un 3, c'est une erreur?

Oui, désolé!

- Enfin, que signifie 5∧22=1? Que pgcd(5,22)=1?

Oui!

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#10 20-01-2021 09:37:31

François.L
Invité

Re : exercice sur les congruences

Super !
Merci et bonne journée.

#11 21-01-2021 12:02:01

les voltigeurs
Membre
Inscription : 13-11-2020
Messages : 1

Re : exercice sur les congruences

Bonjour ,
                Tu cherches une solution particuliére qui satisfait 5x congru  2 ou -2  modulo 22.Par exemple 20 congru -2 modulo 22.
                Ensuite tu fais la somme des 2 équations et tu auras  55x+20 congru 0 modulo22.Donc ,5x+20=22k
                puis 5(x+4)=22k  ,k doit etre un multiple d'aprés le collégue BEZOUT.Donc ,x=-4 +22µ.Avec ton python ,tu avais la solution.

                                         Bonne chance.

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