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#51 18-01-2021 09:08:48

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 460

Re : Des équations et des cubes

Re,


Je crois avoir trouvé que dans un triangle quelconque, on a : a sin(A) = b sin(B) = c sin(C)

C'est ce qu'on désigne par "Loi des sinus", mais c'est :
$\dfrac{a}{\sin \hat A}=\dfrac{b}{\sin \hat B}=\dfrac{c}{\sin \hat C}$

@+


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#52 18-01-2021 10:08:10

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 39

Re : Des équations et des cubes

C'est exact Yoshi !

J'ai oublié les "h". Je voulais écrire : ha sin(A) = hb sin(B) = hc sin(C), qui vient tout droit des 2 formules

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) et a*ha = b*hb = c*hc, en les divisant membre à membre.

Bonne journée !

Dernière modification par Bernard-maths (18-01-2021 10:08:48)

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#53 18-01-2021 17:57:20

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 175

Re : Des équations et des cubes

Bonjour,

yoshi a écrit :

...

Je crois avoir trouvé que dans un triangle quelconque, on a : a sin(A) = b sin(B) = c sin(C)

C'est ce qu'on désigne par "Loi des sinus", mais c'est :
$\dfrac{a}{\sin \hat A}=\dfrac{b}{\sin \hat B}=\dfrac{c}{\sin \hat C}$ ...

Je crois que la relation corrigée par Yoshi ne permet que de définir un cercle à partir de deux points (A, B) et de l'angle ($\hat C$).

# J'avoue avoir du mal à suivre toutes tes digressions:

Bernard-maths a écrit :

... SI F(x,y) = 0 est convexe quelconque, les côtés parallèles sont à des distances différentes, plus les côtés sont longs, et plus la distance est courte ! Je soupçonne peut être une relation liée aux aires ??? A étudier ...

Ces courbes, je les ai appelées "lignes de niveau".

On peut aussi mettre un exposant n sur les termes de F(x,y) = K ... je les appelle "acolytes en puissances" ...
On peut aussi créer n'importe quelle expression F(x,y) = 0, et ajouter K à droite ... ça peut donner des courbes aussi ...

... des fonctions non-linéaires feront sans doute apparaître des lignes courbes, mais ce n'est plus le sujet !

# Et puisque la multiplication des lièvres tourne à l'élevage, je donne ici un lien vers une ancienne discussion dont le sujet, assez exotique, n'est pas sans rapport avec le présent échange.
J'avais pris au mot un personnage qui paraissait avoir plus de problèmes avec les mathématiciens qu'avec les mathématiques.
@ Yoshi: du boulot pour toi, sans doute, puisque je viens d'y débusquer une publicité clandestine (et de la signaler).

# Le dernier programme, hâtivement rédigé, n'utilise que des variables entières; il fait appel à des fonctions élémentaires du type:

F(d, x, y) = |mx + ny - d| + |mx + ny + d| - 2d ;

& la fonction Fabxy01(a, b, x, y) fait intervenir
F(a, x, y) = |x - a| + |x + a| - 2a ; F(b, x, y) = |y - b| + |y + b| - 2b , avec a= 100 , b= 70 , marge = 50 ;
& la fonction Fabxy02(a, b, x, y) fait intervenir
F(a, x, y) = |2x + 3y - a| + |2x + 3y + a| - 2a ; F(b, x, y) = |2x - 3y - b| + |2x - 3y + b| - 2b , avec a= 300 , b= 200 , marge = 200 ;
& la fonction Fabxy03(a, b, x, y) fait intervenir
F1(a, x, y) = |x - a| + |x + a| - 2a ; F1(a, x, y) = |y - a| + |y + a| - 2a ,
F2(a, x, y) = |x + y - b| + |x + y + b| - 2b ,
F3(a, x, y) = |x - y - b| + |x - y + b| - 2b , avec a = 100, b = 141, marge = 100 .

# Il faut bien sûr rationaliser tout cela, en partant de la liste des sommets du polyèdre.
Un nombre pair (N = 2N') de sommets permet de définir (N') bandes à bords parallèles (∆1, ∆2 ... ∆N') à l'intérieur desquelles chaque fonction caractéristique F(d, x, y) est nulle:
KAspWLiRHQ0_Hexagone-3-bandes.png
L'intersection de toutes les bandes, sur (et seulement sur) laquelle la somme des fonctions précédentes est nulle, coïncide donc avec l'intérieur et le bord du polygone.

Dernière modification par Wiwaxia (18-01-2021 21:52:05)

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#54 18-01-2021 20:48:25

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 39

Re : Des équations et des cubes

Bonsoir !

Bon, je crois que nous avons, peut être, quelques légers problèmes de notation et de compréhension ...
Pourtant je sens que tu n'es pas loin du tout de ce que je veux faire passer ...

Donc je te propose de reprendre ton hexagone en biais, et avec mes notations de définir une équation de l'hexagone plein, et d'une courbe de niveau associée.


Je vais supposer qu'on est dans un repère du plan d'origine C, et que les coordonnées des points sont : A1(5,-1), A2(4,3), A3(2,4), A4(-5,1), A5(-4,-3) et A6(-2,-4). On cherche alors des équations implicites des 6 droites supports des 6 côtés :


(A1A6) : 3x-7y-22=0 ; (A3A4) : 3x-7y+22=0 ; (A2A1) : 4x+y-19=0 ; (A4A5) : 4x+y-19=0 ; (A3A2) : x+2y-10=0 et (A5A6) : x+2y+10=0.

Si M(x,y), alors une équation de la bande Delta1 est donnée par MH3+MH6=largeur de la bande !

Soit Abs(3x-7y+22)/Rac(3²+7²) + Abs(3x-7y-22)/Rac(3²+7²) = largeur de Delta1. On a donc une fonction F1(x,y,d1) qui est nulle sur Delta1, et >0 à l'extérieur ... On fait de même avec Delta2 et Delta3. La suite, tu l'as dite.


Une équation du polygone plein est alors : F1(x,y,d1) + F2(x,y,d2) + F3(x,y,d3) = 0


Pour une ligne de niveau, on prend l'équation : F1(x,y,d1) + F2(x,y,d2) + F3(x,y,d3) = 0 + K, avec K > 0.
Pour ce que j'ai trouvé et vu, cela dessine une courbe polygonale autour du polygone initial. Avec des côtés parallèles à ceux du polygone de départ, et de même longueur, plus des segments joignant ces côtés au niveau des sommets. Avec double de côtés et de sommets !


Cette méthode des bandes de plan est applicable pour n'importe quel polygone convexe ... et, ne t'en déplaise, même si on sort du "sujet", pour n'importe quelle zone de plan convexe, si on en connaît une équation de son intérieur + bord.


Pour un polygone convexe quelconque, à chaque côté, on associe un sommet opposé "le plus éloigné", par lequel on trace une parallèle au dit côté ... on est ramené à un ensemble de bandes ... etc ...

Pour ce qui est de l'éloignement des côtés de la ligne de niveau, j'ai constaté qu'ils sont d'autant moins éloignés qu'ils sont plus longs : entre 2 côtés de longueurs différentes, le plus long est plus près du polyèdre de départ ! Pourquoi ? J'ai pas cherché ...



J'ai du mal à suivre tes programmes, même si j'en devine un peu la structure, en quel langage ?

Il FAUT que j'arrive à mettre des images !


Bon, maintenant il est tard, la journée a été un peu chargée, alors,

Bonne nuit ! Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (18-01-2021 21:24:59)

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#55 18-01-2021 22:35:21

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 175

Re : Des équations et des cubes

Bonsoir,

Bernard-maths a écrit :

... Je vais supposer qu'on est dans un repère du plan d'origine C, et que les coordonnées des points sont : A1(5,-1), A2(4,3), A3(2,4), A4(-5,1), A5(-4,-3) et A6(-2,-4) ...

Je poursuivrai sur ce nuage de points (à un facteur d'homothétie près), ce qui permettra la comparaison des résultats.

Bernard-maths a écrit :

... On cherche alors des équations implicites des 6 droites supports des 6 côtés :
(A1A6) : 3x-7y-22=0 ; (A3A4) : 3x-7y+22=0 ; (A2A1) : 4x+y-19=0 ; (A4A5) : 4x+y-19=0 ;
(A3A2) : x+2y-10=0 et (A5A6) : x+2y+10=0  ...

Je ne vérifie pas les calculs, car il se fait tard; cependant l'une des constantes (-19) devrait être affectée du signe (+).

Bernard-maths a écrit :

... Si M(x,y), alors une équation de la bande Delta1 est donnée par MH3+MH6=largeur de la bande ...

L'indexation des domaines (∆k) est à reprendre; la modification de l'image était trop longue.

Bernard-maths a écrit :

... J'ai du mal à suivre tes programmes, même si j'en devine un peu la structure, en quel langage ? ...

Pascal, encore et toujours.
Cela se lit comme du pseudo-code ... S'il le faut, je donnerai quelques clefs concernant les identificateurs personnels.

Dernière modification par Wiwaxia (Hier 17:25:41)

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#56 Hier 13:02:07

Wiwaxia
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Messages : 175

Re : Des équations et des cubes

Soit une arête (AiAj) reliant deux sommets consécutifs, portée par la droite (d),
(θ) l'inclinaison de celle-ci par rapport à l'axe (x'x), située dans l'intervalle ]-π ; + π] ,
(P, Q) ses points d'intersection avec les axes, de coordonnées (a, 0) et (0, b),
(OHi) le segment normal à la droite (d).

KAtiOKLy8w0_Figure-AiAj-02.png

1°) Il vient, si l'on considère le triangle rectangle (OPQ):

h = - a.Sin(θ) = b.Cos(θ) (l'angle θ est négatif dans le cas de la figure)
d'où: 1 = (h/a)2 + (h/b)2 et h2 = a2b2/(a2 + b2) ;

2°) Et en ce qui concerne le rectangle (AiBiAjBj)

AiAj2 = AiBi2 + BiAj2 , d'où: AiAj = ((xj - xi)2 + (yj - yi)2)1/2 = Lij (par convention)
yi - yj = AiAj.Sin(θ) (l'angle θ est négatif dans le cas de la figure);
xi - xj = AiAj.Cos(θ)

3°) Enfin la droite (d) admet pour équation cartésienne: (x/a) + (y/b) = 1 ;
du fait qu'elle passe par les points (Ai, Aj) on déduit les expressions des deux termes associées:

a = (xiyj - xjyi)/(yj - yi) , b = -(xiyj - xjyi)/(xj - xi) ;

on retrouve au passage le déterminant de deux rayons vecteurs consécutifs:

Dij = Det(OAi, OAj) = (xiyj - xjyi) ,

nécessairement non-nul dans le cas d'un polygone convexe, et positif dans le cas d'un enroulement des arêtes successives dans le sens direct.

On obtient finalement: h2 = (xiyj - xjyi)2/((xj - xi)2 + (yj - yi)2) =  Dij2/Lij2 ,
ce qui conduit pour la racine positive à h = |Dij|/Lij .

L'équation de la droite (d) s'écrit finalement Kx.x + Ky.y = 1 , avec

Kx = 1/a = -Sin(θ)/h = -(yi - yj)/|Dij| , Ky = 1/b = Cos(θ)/h = (xi - xj)/|Dij| .

Pour la droite (d') symétrique de la précédente par rapport à l'origine (O), les paramètres prennent des valeurs opposées (a' = -a , b' = -b) et conduisent à l'équation: (x/a) + (y/b) = -1 . Ainsi apparaît le second terme évoqué dans les précédents échanges.

Merci de me signaler les éventuelles erreurs de calcul.

Dernière modification par Wiwaxia (Hier 13:09:57)

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#57 Hier 17:27:13

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 39

Re : Des équations et des cubes

Bonsoir à tous !

Ah oui, + ou - 19, il faut choisir, j'ai tapé trop vite, et c'était tard ... Bon, cette discussion entraîne beaucoup de digressions, où en est-on ?

Si j'ai commencé avec un cube, c'est pour échanger sur les techniques possibles pour trouver des équations de polyèdres. Mais pas forcément que ça ... J'ai tout un tas de curiosités concernant des figures du plan, extensibles à l'espace ... j'ai même des "figures rayonnantes" pour plus tard !

J'utilise surtout GeoGebra 3D, mais version 5, j'aime  beaucoup moins la version 6, pour la facilité de création ... Et toi ? J'utilise de temps en temps Surfer, mais le manque de la fonction valeur absolue est pour moi énorme, sauf si je passe à mes "acolytes en puissances", je peux parfois l'utiliser.

Il FAUT aussi que j'arrive à passer des figures sur bibmath ! MAIS je vais bientôt essayer de passer des "Cjoint" pour des textes Word, et des fichiers GeoGebra. Si avec le lien on peut voir le doc Word ou GeoGabra, ça serait déjà très bien, donc je vais essayer bientôt, pour des docs en cours !

Alors tes programmes sont en Pascal ! Eh bien j'en prend plein la figure quand je pense que je l'ai enseigné (basiquement) il y a ... 25 ans ! Et depuis, je ne l'ai pas utilisé ! Bof ?

Bon, actuellement, nous tournons autour d'équations de polygones ... je voulais montrer diverses méthodes ... et il en reste ... que je n'ai pas toutes essayées ! Donc discussion à suivre ?

Pour une autre méthode, utiliser le régionnement du plan par une droite (ou autre courbe !), sachant que pour une équation f(x,y) = ax + bt + c = 0,  d'un côté f(x,y) < 0 et de l'autre f(x,y) > 0. Alors on calcule g(x,y) = f(x,y) + ou - Abs(f(x,y)) !

Alors d'un côté c'est nul (c'est bon pour nous), et de l'autre on a 2 fois f(x,y) ... VU ? A tester ! Et ça doit marcher pour des lignes polygonales ouvertes, mais convexes, éventuellement avec des courbes ...

Bon, à plus tard, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (Hier 17:57:04)

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