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#1 15-01-2021 20:06:07

Nelcar
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projeté orthogonal

Bonsoir,
Voici le début d'un exercice à savoir :
Soit d la droite passant par le point A(2;3;5) et de vecteur directeur u(4;-8;-4)
1) déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point C(0;-5;13) sur la droite d

voici ce que j'ai fait :
le point H est le point de la droite d tel que les vecteurs CH et u sont orthogonaux soit (xh,yz, zh) les coordonnées de H. Une représentation paramétrique de d est
x=2+4t
y=3-8t
z=-5-4t   t appartient à R
il existe donc un reel to tel que
xh=2+4to
yh=3-8to
zh=-5-4to
les coordonnées du vecteur CH sont (xh+0;yh-5;zh+13) soit on substituant les expressions de xh, yh et zh
2+4to+0
3-8to+5
-5-4to-13   soit en substituant les expressions de xh, yh et zy : (2+to;8-8to;-18-4to)

on a donc CH.u =(2+to)4+(8-8to)-8 + (-18-4to)-4
je trouve to = -4/17
on obtient alors xh=18/17
yh=83/17
zh=69/17
le point H a donc pour coordonnées (18/17 ; 83/17 ; -69/17)

Merci de me dire ce que vous en pensez avant de passer aux questions suivantes

Dernière modification par yoshi (16-01-2021 10:39:14)

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#2 16-01-2021 10:29:29

yoshi
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Re : projeté orthogonal

Bonjour,

Je regarde ça de plus près.
Ne t'impatiente pas ...
Ok, j'ai vu ton message d'explication.
De temps en temps, il  arrive(dernière fois ce matin) qu'on reçoive une page disant que le site est inaccessible.
Maintenant, je ne m'inquiète plus : je renouvelle ma demande (enregistrement, consultation) et ça passe...

@+


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#3 16-01-2021 11:29:52

yoshi
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Re : projeté orthogonal

RE,

1ere remarque
Cette écriture est une écriture proscrite :

CH.u =(2+to)4+(8-8to)-8 + (-18-4to)-4

Pourquoi ?
(2+to)4 : ça n'est pas trop grave, même si lorsque tu as commencé à utiliser la simplification d'écriture en Collège, on t'a recommandé  - pour ton bien ! - d'écrire 4(2+to).
Avec (2+to)4 le jour d'un DS ou d'un examen, en situation de stress, tu cours le risque en écrivant un peu vite de décaler un peu trop le 4 vers la haut, puis de lire (2+to)4. Avec un 4, les exposants 4, n'étant pas si fréquents, il y a moins de risque ; le risque serait bien plus important avec un 2...
MAIS
(8-8to)-8
(-18-4to)-4
Mais ça, c'est une écriture fasse (même si dans ta tête, c'est juste)...
En effet, tu crois avoir écrit une multiplication alors que tu as écrit une soustraction à cause de la priorité des opérations !
Si tu tiens absolument à mettre le nombre derrière la parenthèses, s'il est négatif ajoute des parenthèses :
(8-8to)(-8)
(-18-4to)(-4)
Donc, pour ton bien, privilégie l'écriture : 4(2+to)-8(8-8to)-4(-18-4to)

2e remarque
Pourquoi n'écris-tu pas que le produit scalaire est nul (même si tu l'as sous-entendu) ?

3e remarque (ça m'avait échappé)
z=-5-4t   t appartient à R
Si ton point A a bien pour coordonnées  (2 ; 3 ; 5), pourquoi écris-tu -5 ?

Avec
$H(x_H ; y_H; z_H)$ et  $C(0;-5;13)$
on a :
$\overrightarrow{CH}(x_H\,;\,y_H-(-5)\,;\,z_H-13)$  soit $\overrightarrow{CH}(x_H\,;\,y_H+5\,;\,z_H-13)$
Il y a donc une faute de signe pour chacune des deux dernières coordonnées...

@+


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#4 16-01-2021 14:52:04

Nelcar
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Re : projeté orthogonal

Bonjour,
j'ai beaucoup de mal avec ce cours.
OK pour le 1 de mettre 4(2+to)....
OUI j'aurai du noté que le produit scalaire est nul
pour la troisième remarque en effet c'es 5 et non -5 je corrige
j'ai donc fait
4(2+4to)-8(3-8to)-4(5-4to)
96 to -36   donc to=3/8
les coordonnées de H sont : (3,50 ; 0 ; 4,75)

MERCI

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#5 16-01-2021 16:57:46

yoshi
Modo Ferox
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Re : projeté orthogonal

Bonsoir,

Ce n'est pas un problème de cours, mais de calculs...

Pas d'accord avec tes calculs donc, je les reprends.
$A(2\, ;\,  3 \, ;\,  5)$  et  $\vec u (4\, ;\, -8\, ;\,-4)$
D'où équation paramétrique de d :
$\begin{cases}2+4t\\3-8t\\5-4t\end{cases}$
H est un point de d, donc
$H(2+4t\, ;\,3-8t\, ;\,5-4t)$
$C(0\, ;\,-5\, ;\,13)$
D'où $\overrightarrow{CH}(2+4t\, ;\,3-8t+5\, ;\,5-4t-13)$
Soit
$\overrightarrow{CH}(2+4t\, ;\,8-8t\, ;\,-8-4t)$
$\vec u (4\, ;\, -8\, ;\,-4)$
Et :
$\overrightarrow{CH}.\vec u = 4(2+4t)-8(8-8t)-4(-8-4t)$
$\Leftrightarrow$
$\overrightarrow{CH}.\vec u = 8+16t-64+64t+32+16t$
$\Leftrightarrow$
$\overrightarrow{CH}.\vec u = 8+16t-64+64t+32+16t$
$\Leftrightarrow$
$\overrightarrow{CH}.\vec u = 96t-24$
Et puisque
$\overrightarrow{CH}.\vec u=0$
alors :
$96t-24=0$
d'où
$t =\dfrac 1  4$

D'où
$H \begin{cases}x_H &=2+4t &=3\\y_h &=3-8t &=1\\z_H &=5-4t &=4\end{cases}$

@+


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#6 17-01-2021 17:33:27

Nelcar
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Re : projeté orthogonal

Re,
je ne sais pas pourquoi mais je n'ai pas été averti de ta réponse.
Je viens de reprendre mes calculs et en effet j'ai fait des erreurs. Je suis arrivée sur t=1/4
donc les coordonnées de H(3;1;4)
la question suivante est :
déterminer les longueurs CH et AB, puis l'aire du triangle ABC
j'ai vecteur de CH(3,6,9) longueur de CH=racine de 126
car contre là je ne sais pas je n'ai pas les coordonnées de B

MERCI

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#7 17-01-2021 18:04:47

yoshi
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Re : projeté orthogonal

Re,

As-tu cliqué sur la mention "Suivre cette discussion" ? tu devrais alors recevoir un mail qui te prévient.
Je ne demande qu'à t'aider, mais rien dans ce qui précède ne parle d'un point B !
Comment est-il défini dans ton énoncé ?

A te lire


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#8 17-01-2021 19:17:32

Nelcar
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Re : projeté orthogonal

Re,
Soit d la droite passant par le point A(2;3;5) et de vecteur directeur u(4;-8;-4)
1) déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point C(0;-5;13) sur la droite d
2) déterminer les longueurs CH et AB, puis l'aire du triangle ABC
3) le point H est-il le projeté orthogonal du point R(-13;1;-12) sur la droite d?

MERCI

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#9 17-01-2021 19:33:54

yoshi
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Re : projeté orthogonal

Rez,

Relis-toi et tu verras que ça ne me dit pas comment on obtient le point B: :

Soit d la droite passant par le point A(2;3;5) et de vecteur directeur u(4;-8;-4)
1) déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point C(0;-5;13) sur la droite d
2) déterminer les longueurs CH et AB

Tu vois bien qu'arrivée là, c'est la première fois qu'apparaît le point B...
C'est tout ce que te dit l'énoncé ?
Si oui, je ne peux pas répondre...
Y a-t-il un schéma joint avec ton énoncé ? ou dans le livre si c'est un exercice de ton bouquin...

@+

[EDIT]
Sans savoir où est le point B, j'en suis donc réduit aux conjectures....

Je prends le pari (risqué) que B est aussi sur d... Peut-être tel que H soit le milieu de [AB] ?
Si c'est le cas, poser B(x ; y ; z), pour rester avec les vecteurs, une méthode :
Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$
calculer les coordonnes de $\overrightarrow{AH}$
Écrire que  $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AH}$
En déduire les coordonnées de B.

Pour l'aire de ABC : $CH \times AH$

Pour R,
Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{RH}$
Calculer $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{RH}$
Conclure.

Dernière modification par yoshi (17-01-2021 20:23:52)


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#10 18-01-2021 08:26:16

Nelcar
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Re : projeté orthogonal

Bonjour Yoshi,
toujours pas eu de mail pourtant je n'ai pas cliquer sur ne plus suivre. Soit
j'ai fait
vecteur AB=(x-2;y-3;z-5)
vecteur AH=(1;-2;-1)
je ne vois pas comment tu trouves AB=2AH

Merci

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#11 18-01-2021 08:56:22

yoshi
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Re : projeté orthogonal

Salut,

Alors, on part sur des suppositions pour la place du point B...
Pas de schéma quelque part ?
Cet exercice est indépendant (rien avant ?) ?
Tu ne sais vraiment rien de sa position ? Tes camarades  ont le même problème ou pas ?
Peut-être questionner ton prof ?

Si tu n'as rien pour B, il faudra le signaler dans ton devoir, et signaler que, afin de pouvoir continuer l'exercice, tu as fait une supposition concernant la position de ce point B.

Bon... J'ai donc supposé que  d = (AB) et que H est le milieu de [AB]...
Pourquoi cette supposition et pas une autre ?
Je n'ai pas choisi au hasard, ce fut un choix réfléchi.
Amors, pourquoi  ce choix ? Parce qu'on te demande de calculer CH, puis l'aire du triangle ABC.

En principe, dans un énoncé, on évite de demander des calculs, juste pour le plaisir de faire un calcul...
Donc je me suis dit que, comme  $\text{Aire }=\dfrac {\text{Base } \times \text{ hauteur}}{2}$, [CH] devait être une hauteur du triangle ABC, et [AB] la base correspondante...

Ensuite pourquoi milieu ?
Jusqu'à présent, tu n'as dû calculer que des coordonnées de milieu dans le plan, donc que peut-être l'auteur de l'exercice a-t-il voulu voir si vous étiez capable de passer du plan à l'espace...

Étant donné qu'avec l'énoncé que tu as fourni on ne sait rien sur le point B, il fallait bien faire une supposition "intelligente" permettant de trouver une suite cohérente  à la recherche des coordonnées de H...

Donc je réponds  à  ta question : Pourquoi $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AH}$ ?

Avec ma supposition , les points A, H, B sont alignés dans cet ordre avec AB = 2AH et donc tu as $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AH}$
C'est une façon courante d'exprimer que H est milieu de [AB]...

N-B : Il y en a encore d'autres, par exemple :
$\overrightarrow{AH}=\dfrac 1 2\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{HB}$
$\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}=\vec 0$

Ça te va ?

@+


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#12 18-01-2021 17:20:49

Nelcar
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Re : projeté orthogonal

Re,
toujours pas de notification de ta réponse

Je viens de vérifier mon livre non rien d'autre que ce que je t'ai mis

c'est un exercice que je veux faire de moi même (comme certains pour m'entraîner)
ok je comprends mieux le AB= 2AH
mais je ne sais pas continuer comment calculer la longueur de AB ?

MERCI

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#13 18-01-2021 17:30:54

yoshi
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Re : projeté orthogonal

Re,


Où est le problème ?
C'est la même chose qu'en 3e, tu as seulement les coordonnées z en plus à traiter :
$||\overrightarrow{AB}||^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2$

En bas à droite de la page BibMath, se trouve
soit la mention Suivre cette discussion
soit la mention Ne plus suivre

Qu'est-ce qui est écrit chez toi ?

@+

[EDIT]
Puisque tu travailles seule, je vais te recommander un bouquin que je recommande systématique à tous ceux qui sont dans ce cas.
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Dernière modification par yoshi (18-01-2021 17:54:51)


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#14 18-01-2021 17:51:49

Fred
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Re : projeté orthogonal

Bonjour,

  Il y a un problème avec certains serveurs de mail (type gmail par exemple). Les notifications envoyées par le forum n'arrivent pas (et n'apparaissent pas non plus dans les spams). C'est un problème sur lequel il faut que je me penche, car par ailleurs le site m'envoie automatiquement des messages (quand on clique par exemple sur Signaler une erreur) sur ma boite gmail et je les reçois. Je ne sais pas quelle est la différence de paramétrage qui fait cela....

F.

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#15 18-01-2021 17:57:19

yoshi
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Re : projeté orthogonal

Salut Fred,

Sa messagerie déclarée est neuf.fr, soit maintenant sfr...

@+


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#16 18-01-2021 20:20:52

Fred
Administrateur
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Re : projeté orthogonal

Je ne sais pas pour sfr...

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