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#1 18-01-2021 00:24:36

Chloe75
Membre
Inscription : 28-12-2020
Messages : 20

Analyse

Bonjour,
J’ai un exercice résolu que je ne comprends pas trop certains détails.
Je souhaite donc que vous m’aidiriez a y voir claire.
Voici l’énoncé et la solution:

Calculer l’intégrale $\int_\gamma f(z)dz$ dans le cas suivant avec $\gamma$ orienté positivement:

$f(x+iy)=x$ et $\gamma$ est le polynôme $[-i,-i+1,i+1,i,-i]$

Solution:

Nous utilisons les parametrisations suivantes :

$\gamma_1 (t) = -i+t, 0 \leq t \leq 1$,
$\gamma_2 (t) = ti+1, -1 \leq t \leq 1$,
$\gamma_3 (t) = i+(1-t), 0 \leq t \leq 1$,
$\gamma_4 (t) = -ti, -1 \leq t \leq 1$.

Alors

$\int_\gamma f(z)dz = (\int_\gamma1 + \int_\gamma2 + \int_\gamma3 + \int_\gamma4)f(z)dz$
$=\int_0^1 f(-i+t)dt + \int_{-1}^1 f(ti+1)idt + \int_0^1 f(i+(1-t))(-1)dt + \int{-1}^1 f(-ti)(-i)dt$
$=\int_0^1 tdt + i \int_{-}^1 tdt + \int_0^1 (t-1)dt =2i$.

Je ne comprends pas le début de la solution, c’est-à-dire, la parametrisation. Sur quelle logique on a découpé les intervalles et c’est quoi la démarche en règle générale ?

Merci pour vos réponses.

Hors ligne

#2 18-01-2021 11:36:05

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 866

Re : Analyse

Bonjour,

  $\gamma$ est un polygone. C'est naturel de l'écrire comme 4 segments successifs, non? D'où $\gamma_1$, $\gamma_2$,...
Il me semble que les paramétrages choisis sont les plus simples possibles....

F.

Hors ligne

#3 18-01-2021 14:24:04

Chloe75
Membre
Inscription : 28-12-2020
Messages : 20

Re : Analyse

Bonjour Fred,

Merci pour ton intervention.
Oui, je suis d’accord mais c’est la logique de la découpe que je comprends pas, désolée si ça semble trop évident, mais ça ne me saute pas aux yeux. Raison pour laquelle j’aimerais comprendre la logique/astuce.

Chloé

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