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Lili066

Invité

Produit vectoriel

Bonjour, j'ai l'exercice suivant :

On appelle droite vectorielle, D, une droite passant par O et de direction définie par un vecteur [tex]\vec{u} = (1,-1,1)[/tex].

On note M(x,y,z) et [tex]\vec{v} = \vec{OM}[/tex]

1) Justifier que [tex]D = {M \in R^{3} / \vec{v} = \lambda * \vec{u} } = {M \in R^{3} / M = (\lambda , -\lambda , \lambda )}[/tex]

2)  Déterminer le système d'équations définissant la droite vectorielle D.

3)  Retrouver que D est l'intersection de 2 plans dont on donnera l'équation.

4) Donner un vecteur directeur [tex]\vec{u} [/tex], de la droite D, définie par : [tex]\begin{cases} x - y + z & \text= 0 \\ 2x + 3y - z & \text= 0 \end{cases}[/tex]

Pour la question 1),

J'ai fais : [tex]M \in D \Leftrightarrow [/tex]     il   existe   [tex] \lambda \in R[/tex]     et  [tex] \vec{v} = \lambda *\vec{u}[/tex] soit :

[tex]
\left\lbrace\begin{matrix}
x = \lambda *1\\
y = \lambda *(-1)\\
z = \lambda *1
\end{matrix}\right.
[/tex]

Et on retrouve bien la définition paramétrique de la droite D.
Par contre je suis complètement bloquée à partir de la question 2.

J'ai calculé [tex]\vec{U} \land \vec{OM}=( -z-y ; x-z ; y+z) [/tex] mais après je ne sais pas quoi faire

Fred

Administrateur

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Re : Produit vectoriel

Bonjour,

  Le produit vectoriel n'est pas utile dans cette question. Tu as ici une équation paramétrique de la droite, c'est-à-dire que tu exprimes un point M(x,y,z) de la droite en fonction d'un paramètre $\lambda$. Pour obtenir un système d'équations de la droite, tu peux exprimer $\lambda$ en fonction d'une des coordonnées (par exemple $x$) et remplacer $\lambda$ par sa valeur en fonction de $x$ dans les deux autres équations.

Tu devrais regarder l'exercice 6, en particulier sa question 3, de cette feuille qui pourrait te servir de modèle.

F.

Lili066

Invité

Re : Produit vectoriel

Donc d'après ce que j'ai compris, on a le système : [tex]\left\lbrace\begin{matrix} x =z & \\ y = -z& \end{matrix}\right.[/tex]  avec [tex]\lambda = z[/tex]

Donc les équations sont x-z = 0 et y + z = 0 ?

Fred

Administrateur

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Re : Produit vectoriel

Oui!

Lili066

Invité

Re : Produit vectoriel

D'accord merci beaucoup

Pour la question 3, les deux équations ne correspondent pas justement aux deux plans ?

Chlore au quinoa

Membre

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Re : Produit vectoriel

Salut je m'incruste ^^

Si, les plans sont bien ceux d'équation $x-z=0$ et $y+z=0$.

En fait, ton équation paramétrique devrait plutôt être $\left\{\begin{array}\\
x = \lambda \\
y = -\lambda \\
z=\lambda
\end{array}\right. \, ; \,\lambda \in \mathbb{R} $ même si cela revient totalement au même. Comme ça on a pas exactement la même réponse pour l'équation et l'intersection des plans :)

Adam

Dernière modification par Chlore au quinoa (18-01-2021 14:55:26)

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"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

Lili066

Invité

Re : Produit vectoriel

Merci beaucoup pour vos réponses rapide. Je vais maintenant passer aux espaces / sous espaces vectoriels !

A bientôt