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#1 17-01-2021 08:22:35

Free13
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Inscription : 18-09-2020
Messages : 32

Quelques petites questions d'algèbre

Bonjour à tous !!

J'espère que vous allez bien, je me permets aujourd'hui de venir avec de nouvelles questions. Mon problème est que je ne saisis pas certaines nuances ce qui m'a conduit à commettre des erreurs, et comme aucune correction n'est expliquée je vous avoue que cela ne m'avance pas énormément.

1) Soit une matrice A 7x6, dont les trois dernières colonnes sont linéairement dépendantes, alors :
       -> le rang de A est supérieur ou égal à 2
       -> inférieur ou égal à 5
       -> égal à 3
       -> égal à 4
je ne comprends pas pourquoi est ce que la bonne réponse est la réponse "inférieur ou égal à 5". Selon moi, A étant une matrice à 6 colonnes, elle peut au maximum avoir 6 positions de pivot, or on dit que ses trois dernières colonnes sont linéairement dépendantes, par conséquent cela réduit le nombre de colonnes pivot à 4 selon moi, pas à quelque chose de possiblement égal à 5.

Merci de me dire si je n'ai décidément rien compris haha

2) Soit A nxn et P nxn telle que chaque colonne de P est un eigenvector de A. Alors il est toujours vrai que AP = PD pour une matrice diagonale D.

Est ce que donc la seule matrice D respectant ces conditions est la matrice diagonale constituée des valeurs propres de la matrice A ?

3) Soit A une matrice mxn telle que Ax = b a au moins une solution pour tout b de Rm.  Alors il est toujours vrai que :
       * dim (col(AT)) = n
       * ATy 0 has a unique solution
       * dim(NulA) = 0
       * ATy = c a au moins une solution pour tout c appartenant à Rn

Alors là j'avoue avoir énormément hésite entre la deuxieme et la dernière.

Selon moi, ce qui est dit dans l'énoncé sous entend que le rang de A est égal à m qui sera également égale au rang de AT. Ainsi la dimension de son Kernel est égale à 0, et contient donc l'unique élément 0, ce qui pour moi explique pourquoi la deuxieme est vraie, mais dans ce cas, pourquoi pas la 4e car selon moi elles sont logiquement équivalentes ?

4) Soit A une matrice mxn dont les entrées ne sont pas toutes 0, et soit b dans Rm , Alors il est toujours vrai que Ax = Ay i x et y sont deux solutions au sens des moindres carrés de Ax = b.

Je désirai juste ici etre sure de la justesse de mon raisonnement ; est ce qu'on assume cela vrai pour la raison que l'écart quadratique trouvé entre la solution au sens des MC (qui correspond au vecteur dans l'espace colonne de A le plus "proche" de b, je crois) doit etre conservé quel que soit la solution.
Mais cela n'induit pas que cette solution est unique n'est ce pas ?

5) Soient A et B deux matrices diagonalisable 3x3, soit {u1 , u2 , u3} une base de R3 telle que
    a) les eigenspaces de A sont E1 = span {u1 , u2} et E2 = span {u3}
    b) Bu2 = - u2 et nul(B) = span {u1 , u3} // ce qui pour moi veut dire que -1 est valeur propre de B, ainsi que 0//


Ce que je ne COMPRENDS PAS (oui j'avoue que cette question m'a un peu énervée haha) c'est pourquoi est ce qu'il est immédiatement affirmé dans la correction : les matrices AB et A+B sont toujours diagonalisables. Alors que selon moi, la matrice AB l'est mais pas forcément A + B.


Voilà voilà, désolée c'est absolument immense, j'espère que certain(e)s d'entre vous auront eu le courage de tout lire jusqu'au bout,

en tout cas merci d'avance !


F

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#2 17-01-2021 11:56:42

Chlore au quinoa
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Inscription : 06-01-2021
Messages : 209

Re : Quelques petites questions d'algèbre

Salut !

Pour la 1 rien ne te dit que ce n'est pas par exemple la matrice nulle, ce qui élimine d'office les 3 autres possibilités ! Et $\le 5$ ne veut pas forcément dire que le cas d'égalité est atteint.

Pour la 2 je suppose que "eigenvector" signifie vecteur propre. Dans ce cas regarde à quoi ressemble la matrice $AP$, et plus précisément que sont ses colonnes par rapport à celle de $P$

Pour la 3, regarde la dernière réponse, c'est $\mathbb{R}^n$ et pas $\mathbb{R}^m$, d'où le fait que cela soit faux. Et attention aux rangs des transposées de matrices dont les espaces d'arrivé et de départ n'ont pas la même dimension !

Pour la 4 je ne peux pas t'aider, je ne connais que l'esprit de la méthode des moindres carrés, et n'en ai jamais étudié d'applications.

Pour la 5 euh... $A$ diagonalisable et $B$ diagonalisable n'implique en rien $AB$ diagonalisable !!! Il y a une condition à respecter (laquelle ?)

Exemple : $A= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

$A$ et $B$ sont diagonalisables mais $AB = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ ne l'est pas, il suffit de voir que son polynôme caractéristique n'est pas scindé à racines simples.

Dans l'espoir de t'avoir éclairé,

Adam.


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

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#3 17-01-2021 13:10:35

Zebulor
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Messages : 1 122

Re : Quelques petites questions d'algèbre

Bonjour,

Free13 a écrit :

1) Soit une matrice A 7x6, dont les trois dernières colonnes sont linéairement dépendantes, alors :
       -> le rang de A est supérieur ou égal à 2
       -> inférieur ou égal à 5
       -> égal à 3
       -> égal à 4

Je me permets une petite intrusion : en relisant Chlore au Quinoa je pense que les réponses proposées doivent être comprises comme des conditions suffisantes et pas comme des conditions nécessaires et suffisantes.
Si à cette question 1) ta réponse est : le rang de A est inférieur ou égal à 4. Alors la réponse -> inférieur ou égal à 5 convient puisque toutes les matrices de rang inférieur ou égal à 4 ont aussi un rang inférieur ou égale 5.

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#4 17-01-2021 13:46:28

Chlore au quinoa
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Inscription : 06-01-2021
Messages : 209

Re : Quelques petites questions d'algèbre

Yes c'est ce que je voulais dire par :

$\le 5$ ne veut pas forcément dire que le cas d'égalité est atteint.

Merci de ta précision c'est plus clair il est vrai !


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

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