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#1 15-01-2021 11:51:14

MedPr
Membre
Inscription : 29-10-2020
Messages : 11

Topologie

Bonjour à tous, je traite l’exercice suivant mais je suis à court d’idées. En effet pour la question je pensais à utiliser l’inégalité triangulaire pour montrer que la fonction est bornée.

Pour la question 2 je souhaite savoir si je peux la traiter sans avoir forcément fait la question 1. Si oui il faut juste que j’applique la définition qui dit que Pour tout x € D on a f(x)<f(a) ?

Fixons pour le moment un triplet (x, y, z) ∈ R3 pour lequel on considère l’application
Φ(t,s):= |x+ty+sz|/1+t^2+s^2
1. Montrer que la fonction Φ est bornée sur R2. On note M := supR2 Φ.
2. Montrer que Φ admet un maximum global.
3. Déterminer les points où le maximum est atteint.
4. Le nombre obtenu à la question précédente dépend du triplet (x, y, z). On le note N (x, y, z). Montrer que l’application ainsi définie est une norme de R^3.

Merci d’avance

Hors ligne

#2 15-01-2021 12:18:11

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 005

Re : Topologie

Bonjour,

Si tu écrivais correctement les maths (en latex c'est plus simple et efficace), on pourrait mieux comprendre et te répondre plus facilement...

Pour la question 1, connais-tu l'inégalité de Cauchy-Schwarz $|\langle u, v \rangle| \leq \|u\| \, \|u\|$ ?
Tu peux l'utiliser avec le produit euclidien de $\mathbb R^3$.

Pour la question 2, si tu remarque que $\phi$ est continue, ça devrait te mettre la puce à l'oreille (en utilisant la question 1).

Roro.

Dernière modification par Roro (15-01-2021 12:18:32)

Hors ligne

#3 15-01-2021 13:04:24

Enora.G
Invité

Re : Topologie

Bonjour,

Pour la question 4, je pense que si tu montres que |N(x,y,z) | est inférieur ou égal à une autre norme connue de R3, alors tu dois pouvoir conclure que c'est une norme sur R3.
Enfin je pense mais je suis pas tout a fait  sure.

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