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#1 10-01-2021 17:27:32

Rolando
Invité

continuité et fonction C1 en un point

Bonsoir à tous,

Je bloque sur une question depuis plusieurs jours qui je pense est très simple pour certains d'entre vous.

Je dois étudier la continuité et le caractère C1 de la fonction f (x,y) = x5ey/(1+x-ey).
Tout d'abord, au point (0,0), je cherche à savoir si cette fonction est continue.

Voila ce que j'ai fait de deux façons:

1. | x5ey/(1+x-ey )| < | x5ey/(1+x-2ey )|

car ey est bien sur toujours positif

et | x5ey/(1+x-2ey )| tend vers 0 quand (x,y) tend vers (0,0) donc f est continue en (0,0).

2. ou:

f(0,y)= 0/(1-ey) qui tend vers 0 quand y tend vers 0; y⧧0
f(x,0)=x4 qui tend vers 0 quand x tend vers 0

donc f tend vers 0 quand (x,y) tend vers (0,0) donc f est continue en (0,0).

Cela vous semble t-il correct s'il vous plait? Les deux méthodes sont elles valables ? ou aucune?

Merci pour le temps que vous m'accorderez

#2 10-01-2021 19:28:11

Chlore au quinoa
Membre
Inscription : 06-01-2021
Messages : 73

Re : continuité et fonction C1 en un point

Salut !

Déjà ta méthode 2 est fausse ! La convergence des applications partielles n'implique pas la convergence de la fonction ! Exemple :
$f : (x,y) \mapsto 0 \, $si$ \, (x,y)=(0,0)$ et $\dfrac{xy}{x²+y²}$ sinon.

Les 2 fonctions à $x$ constant et $y$ constant sont continues en $0$ alors que $f $ ne l'est pas (pourquoi ?).

Ensuite...ta fonction n'est même pas définie en $0$, donc elle serait éventuellement prolongeable par continuité avec $f(0)=0$ .

Ta méthode 1 est originale je n'y aurais pas pensé, je serais revenu à la définition et aurais introduit une norme (d'ailleurs indispensable pour définir le $(x,y) " \to " 0$

Pour être honnête je pense que ça marche, tu compares en valeur absolue à une fonction qui vaut 0 en 0... mais je ne suis pas un pro du calcul diff, j'attends que des avis plus expérimentés interviennent. En tout cas je suis sûr pour la méthode 2 que ça marche pas ^^.

Adam

Hors ligne

#3 10-01-2021 20:35:45

Rolando
Invité

Re : continuité et fonction C1 en un point

Bonsoir Chlore au quinoa,

1) Effectivement, ma méthode 2 est fausse comme le montre  ton exemple ou f(x,x ) et f(-x,x) tendent vers (0,0) quand x tend vers 0 et f(x,x)=1/2 et f(-x/x) =-1/2 donc f n'est pas prolongeable en (0,0).

2) Oui, ma fonction n'est pas définie en (0,0). Je n'ai pas précisé mais je cherche un prolongement par continuité en ce point.
3) Concernant la méthode 1, effectivement, c'est une majoration par quelque chose qui tend vers 0 en (0,0) mais je trouve ça un peu tiré par les cheveux. Je me demandais s'il n'y avait une méthode ou une majoration plus élégante?

En tout cas, merci de ton aide.

#4 11-01-2021 10:43:09

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 1 093

Re : continuité et fonction C1 en un point

Bonjour,

Rolando a écrit :

1. | x5ey/(1+x-ey )| < | x5ey/(1+x-2ey )|
car ey est bien sur toujours positif

@Rolando : On peut toujours résoudre cette inéquation. En tout cas ta justification me paraît osée.. parce que cette inégalité n'est pas vérifiée pour $x=y=10^{-1}$ ni pour $x=y=10^{-3}$

Hors ligne

#5 11-01-2021 14:32:45

Rolando
Invité

Re : continuité et fonction C1 en un point

Bonjour,

Effectivement, tu as raison.
Aucune de mes majorations n’est bonne !!!
Je ne vois pas.
Merci Zebulor d’avoir corrigé mon erreur.

#6 11-01-2021 15:50:35

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 1 093

Re : continuité et fonction C1 en un point

re,
peut être étudier $\lim\limits_{(x;y) \to (a;a)} f(x;y)$ et voir ce qui se passe quand $a$ tend vers $0$

Dernière modification par Zebulor (11-01-2021 17:28:17)

Hors ligne

#7 11-01-2021 21:10:06

Rolando
Invité

Re : continuité et fonction C1 en un point

Re,

Merci Zebulor.
J'ai peut être une solution (donc version 3!!!):
Le développement limité de ex au voisinage de 0 vaut: 1+x+x2/2!+.........+ xn/n! + xn ?(x).
Donc 1+x -ex = 1+x -(1+x+x2/2!+.........+ xn/n! + xn ε(x).
d'ou 1+x -ex ≥- x2/2!
et |f(x,y)| =| x5ey/(1+x-2ey )| ≤ | x5ey/(x2/2!)|≤ | x3ey|

Merci de me donner vos avis

#8 11-01-2021 21:14:29

Rolando
Invité

Re : continuité et fonction C1 en un point

Désolé, j'ai oublié la conclusion:

Comme | x3ey| tend vers 0 quand (x,y) tend vers (0,0); alors f est prolongeable en (0,0) par f(0,0)= 0.
Merci

#9 11-01-2021 21:48:49

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 1 093

Re : continuité et fonction C1 en un point

Re,
et là tu peux voir que la continuité à l'origine est approchée par tous les axes et pas seulement $Ox$ et $Oy$ ..

Hors ligne

#10 11-01-2021 22:17:37

Rolando
Invité

Re : continuité et fonction C1 en un point

Re,

Tu veux dire toutes les droites passant par l'origine?
J'aurai une question complémentaire si tu veux bien:
La, on a montré que |f(x,x)| =0 quand (x,x) tend vers (0,0). Mais est ce suffisant pour prouver le prolongement par continuité?
Dans certains exercices, on affirme qu'une fonction n'est pas prolongeable si on montre par exemple que lim f(x,-x)⧧f(x,x). Comment être sur ici que ce n'est pas le cas?
Roland

#11 12-01-2021 10:50:03

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 1 093

Re : continuité et fonction C1 en un point

re,
ce que tu écris au post 7 me semble bon. J'ai un doute sérieux sur ce que j'ai écrit au post 9..  Mes excuses ! Si bien que ta conclusion du post 8 me semble trop hâtive..

Rolando a écrit :

La, on a montré que |f(x,x)| =0 quand (x,x) tend vers (0,0). Mais est ce suffisant pour prouver le prolongement par continuité?
Roland

Non : contre exemple : $g(x;y)=\frac {xy}{x^2+y^2}$. Tu peux voir que $g(x,0)=0$ pour $x$ différent de $0$.
Quand $x$ tend vers $0$, $(x;0)$ tend vers $(0;0)$ et $g(x;0)$ tend vers $0$ parce que la limite d'une constante est une constante.
D'où la conclusion que si $g$ a une limite réelle en $(0,0)$ elle ne peut être que $0$...
Or, quand $(x,x)$ tend vers $(0;0)$, $g(x;x)$ tend vers $\frac {1}{2}$ différent de $0$ , d'où l'absence de limite de $g$ en $0$.

Rolando a écrit :

Dans certains exercices, on affirme qu'une fonction n'est pas prolongeable si on montre par exemple que lim f(x,-x)⧧f(x,x).
Roland

Oui parce qu'il suffit que les limites soient différentes dans deux directions différentes pour que $f$ ne soit pas prolongeable par continuité en $(0;0)$

Rolando a écrit :

Comment être sur ici que ce n'est pas le cas?
Roland

Je ne sais pas répondre à cette question..Je pensais que si $\lim_{x \to 0} f(x,ax) = 0$ pour tout $a$ de $\mathbb R$ alors $f$ est continue en $(0;0)$ mais c'est faux. ...

Dernière modification par Zebulor (14-01-2021 10:06:58)

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