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#1 08-01-2021 11:59:18

pentium mix
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sériés de fonction

Bonjour et bonne année
Svp aide moi a étudier le nature de la série de fonctions de termes général hn(x) = x/(n+1)^2 si E(|x|)=n et 0 sinon


Merci d'avance

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#2 08-01-2021 12:08:50

Chlore au quinoa
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Re : sériés de fonction

Bonjour !

Tu définis bien ceci :

$\forall n \in \mathbb{N}, h_n(x) = \frac{x}{(n+1)^2}$ si $E(|x|) = n$ et $0$ sinon.

Dans ce cas là pour tout $(x,n) \in \mathbb{R}\times\mathbb{N}$, tu peux majorer $|h_n(x)|$ par la valeur $\frac{|x|}{(n+1)²}$

Ensuite tu peux comparer à une série bien connue...

Comment t'y étais-tu pris auparavant ?

Adam


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

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#3 08-01-2021 13:40:10

pentium mix
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Re : sériés de fonction

J'ai commencé par étudier la convergence normale et j'ai regarder ||hn|| infini de hn
Cette norme infini ne converge pas comme série numérique
Donc {hn} ne converge pas normalement


Mon problème est sur la convergence simple

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#4 08-01-2021 19:35:52

Chlore au quinoa
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Re : sériés de fonction

Pour utiliser ta norme infinie il faut préciser un espace vectoriel normé. Lequel est-il ? Si tu définis tes fonctions $h_n$ sur un compact de $\mathbb{R}$ la série de fonctions converge normalement.

Pour la convergence simple, il faut simplement que la somme des $h_n(x)$ converge pour tout $x$.  Tu ne peux pas monter que $h_n \underset{n\to +\infty}= O(f_n)$ avec les $f_n$ des fonctions de référence ?


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J. von Neumann

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#5 09-01-2021 11:46:40

pentium mix
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Re : sériés de fonction

Chlore au quinoa a écrit :

Pour utiliser ta norme infinie il faut préciser un espace vectoriel normé. Lequel est-il ? Si tu définis tes fonctions $h_n$ sur un compact de $\mathbb{R}$ la série de fonctions converge normalement.

Pour la convergence simple, il faut simplement que la somme des $h_n(x)$ converge pour tout $x$.  Tu ne peux pas monter que $h_n \underset{n\to +\infty}= O(f_n)$ avec les $f_n$ des fonctions de référence ?


La série de fonction est définit sur R
On a
Sup|hn(x)|,x€R= sup |hn(x)|,E(|x|)=n
                          = sup|hn(x)|,x€[n,n+1[
                           =1/(n+1)
Qui est une série divergente
Donc {hn} ne converge pas normalement

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#6 09-01-2021 12:00:00

Chlore au quinoa
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Re : sériés de fonction

Sur $\mathbb{R}$ en effet ça ne converge pas normalement comme tu l'as montré, mais sur $[a,b]$ quelconque si, d'où la nécessité de préciser les ensembles de définition :).

Tu veux juste une convergence simple ? Méthode classique : Soit $x \in \mathbb{R}$, peux-tu comparer $\sum \limits_{n=0}^N \,h_n(x)$ (avec $N \in \mathbb{N^*}$) à une autre somme classique, qui quand $N$ tend vers $+\infty$ converge ?


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J. von Neumann

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#7 12-01-2021 20:45:55

pentium mix
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Re : sériés de fonction

OK merci

Je vais essayer de faire comme ça

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