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Zebulor

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Re : Calcul de limite

Re,
j'ai un peu de mal à lire .. mais je crois que dans un premier temps tu peux prendre le logarithme du produit de sorte à te retrouver avec une somme..

Arthuroua

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Re : Calcul de limite

Oui mais ca je ne sais pas comment faire, pour que tu comprennes peut être mieux :

Le produit pour k allant de 1 à n de (1+e^(k/n)) à la puissance ( (e^(2k/n))/n )

Zebulor

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Re : Calcul de limite

J'ai modifié ce post mais alors prends le logarithme de ceci : $\prod_{k=1}^n (1+exp(\frac{k}{n}))^\frac{exp{\frac{2k}{n}}}{n}$

Dernière modification par Zebulor (06-12-2020 09:40:26)

Arthuroua

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Re : Calcul de limite

C'est la première mais l'exponentielle c'est e^(2k/n) le tout divisé par n

Arthuroua

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Re : Calcul de limite

Tu y arrives ?

Zebulor

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Re : Calcul de limite

j 'étais en tout cas arrivé à un résultat .. la technique est toujours la même : isoler $\frac{k}{n}$ qui joue le rôle de $x$ dans le passage à la limite, et dans le cas de ce 1) mettre un facteur $\frac{1}{n}$ en dehors de la somme obtenue car il ne dépend pas de $k$. Puis repasser à l'exponentielle pour trouver la limite du produit.

Dernière modification par Zebulor (06-12-2020 11:04:04)

Arthuroua

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Re : Calcul de limite

Cela va donner la somme de 1 à n de ln(ce qu'il y a derrière le produit du post #29)

Arthuroua

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Re : Calcul de limite

Je ne vois pas comment à partir de ca isoler le 1/n et avoir que des k/n à droite comme les autres

Zebulor

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Re : Calcul de limite

le logarithme du produit égale la somme des logarithmes. Et pour chaque logarithme tu as $ln(a^b)=b*ln(a)$

Arthuroua

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Re : Calcul de limite

Là en passant au ln j'ai ca :

somme de 1 à n de ln(ce qu'il y a derrière le produit du post #29)

Donc dans chaque ln j'ai 1+e^(k/n) et j'ai ca (exp(2k/n))/n fois

Zebulor

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Re : Calcul de limite

$\Large \sum\limits_{k=1}^n ln\left[\left(1+exp(\frac{k}{n})\right)^\frac{exp{(\frac{2k}{n}})}{n}\right]$

Dernière modification par Zebulor (06-12-2020 11:35:42)

Arthuroua

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Re : Calcul de limite

Oui c'est ca que j'ai

Arthuroua

Invité

Re : Calcul de limite

Ah non moi je nemettais pas l'exponentielle de droite au bon endroit c'est pour ca

Zebulor

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Re : Calcul de limite

re,
et ceci : $\Large \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^n ln\left[\left(1+exp(\frac{k}{n})\right)^\frac{exp{(\frac{2k}{n}})}{n}\right]$ est une intégrale que je te laisse trouver. On peut en trouver la valeur exacte et c'est encore du calcul par changement de variable.

L'exponentielle de cette intégrale est le produit de départ..

Dernière modification par Zebulor (06-12-2020 14:40:55)

Zebulor

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Re : Calcul de limite

Re,
tu as raison : la limite quand $n$ tend vers l'infini de la première somme $\Large \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k}{n} cos(\frac{k\pi}{n})$ est $\Large \frac {-2}{\pi^2}$

Dernière modification par Zebulor (07-12-2020 08:53:17)