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#26 06-12-2020 10:46:00
- Zebulor
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Re : Calcul de limite
Re,
j'ai un peu de mal à lire .. mais je crois que dans un premier temps tu peux prendre le logarithme du produit de sorte à te retrouver avec une somme..
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#27 06-12-2020 10:56:12
- Arthuroua
- Invité
Re : Calcul de limite
Oui mais ca je ne sais pas comment faire, pour que tu comprennes peut être mieux :
Le produit pour k allant de 1 à n de (1+e^(k/n)) à la puissance ( (e^(2k/n))/n )
#28 06-12-2020 11:14:22
- Zebulor
- Membre expert
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Re : Calcul de limite
J'ai modifié ce post mais alors prends le logarithme de ceci : $\prod_{k=1}^n (1+exp(\frac{k}{n}))^\frac{exp{\frac{2k}{n}}}{n}$
Dernière modification par Zebulor (06-12-2020 11:40:26)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#29 06-12-2020 11:27:58
- Arthuroua
- Invité
Re : Calcul de limite
C'est la première mais l'exponentielle c'est e^(2k/n) le tout divisé par n
#30 06-12-2020 12:33:35
- Arthuroua
- Invité
Re : Calcul de limite
Tu y arrives ?
#31 06-12-2020 12:57:56
- Zebulor
- Membre expert
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Re : Calcul de limite
j 'étais en tout cas arrivé à un résultat .. la technique est toujours la même : isoler $\frac{k}{n}$ qui joue le rôle de $x$ dans le passage à la limite, et dans le cas de ce 1) mettre un facteur $\frac{1}{n}$ en dehors de la somme obtenue car il ne dépend pas de $k$. Puis repasser à l'exponentielle pour trouver la limite du produit.
Dernière modification par Zebulor (06-12-2020 13:04:04)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#32 06-12-2020 13:05:21
- Arthuroua
- Invité
Re : Calcul de limite
Cela va donner la somme de 1 à n de ln(ce qu'il y a derrière le produit du post #29)
#33 06-12-2020 13:14:48
- Arthuroua
- Invité
Re : Calcul de limite
Je ne vois pas comment à partir de ca isoler le 1/n et avoir que des k/n à droite comme les autres
#34 06-12-2020 13:22:00
- Zebulor
- Membre expert
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Re : Calcul de limite
le logarithme du produit égale la somme des logarithmes. Et pour chaque logarithme tu as $ln(a^b)=b*ln(a)$
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#35 06-12-2020 13:26:39
- Arthuroua
- Invité
Re : Calcul de limite
Là en passant au ln j'ai ca :
somme de 1 à n de ln(ce qu'il y a derrière le produit du post #29)
Donc dans chaque ln j'ai 1+e^(k/n) et j'ai ca (exp(2k/n))/n fois
#36 06-12-2020 13:32:11
- Zebulor
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Re : Calcul de limite
$\Large \sum\limits_{k=1}^n ln\left[\left(1+exp(\frac{k}{n})\right)^\frac{exp{(\frac{2k}{n}})}{n}\right]$
Dernière modification par Zebulor (06-12-2020 13:35:42)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#37 06-12-2020 13:33:46
- Arthuroua
- Invité
Re : Calcul de limite
Oui c'est ca que j'ai
#38 06-12-2020 13:36:28
- Arthuroua
- Invité
Re : Calcul de limite
Ah non moi je nemettais pas l'exponentielle de droite au bon endroit c'est pour ca
#39 06-12-2020 16:29:01
- Zebulor
- Membre expert
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Re : Calcul de limite
re,
et ceci : $\Large \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^n ln\left[\left(1+exp(\frac{k}{n})\right)^\frac{exp{(\frac{2k}{n}})}{n}\right]$ est une intégrale que je te laisse trouver. On peut en trouver la valeur exacte et c'est encore du calcul par changement de variable.
L'exponentielle de cette intégrale est le produit de départ..
Dernière modification par Zebulor (06-12-2020 16:40:55)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#40 06-12-2020 19:18:09
- Zebulor
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Re : Calcul de limite
Re,
tu as raison : la limite quand $n$ tend vers l'infini de la première somme $\Large \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k}{n} cos(\frac{k\pi}{n})$ est $\Large \frac {-2}{\pi^2}$
Dernière modification par Zebulor (07-12-2020 10:53:17)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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