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#1 05-12-2020 21:31:18

Bob2050
Invité

continuité d'une fonction sur R^2

Bonjour,

J'aurai besoin d'aide pour le sujet suivant:

Soit la fonction f définie sur R^2 par f(x,y)= (x / √(x2+y2)) * (cos (1 / √(x2+y2)) si (x,y) ≠ (0,0) et 0 si (x,y)= (0,0).
Je souhaite étudier la continuité de cette fonction en (0,0).

Voici ma solution:

f est continue en (0,0) car:
|f(x,y)-f(0,0)|= | (x / (√(x2+y2)) * (cos (1 / √(x2+y2)) |
                    ≤ | x / (√(x2+y2))|
                    = |x| *  |1/(√(x2+y2)|
                    = 0 quand (x,y) tend vers (0,0).


Mais je ne suis pas sur du passage de l'avant dernière ligne à la dernière ligne.
Quelqu'un peut il m'aider?
Merci.

#2 05-12-2020 22:40:45

Romaiys
Membre
Inscription : 16-12-2019
Messages : 21

Re : continuité d'une fonction sur R^2

Bonsoir,

Alors si on suppose vraie ce que tu as écrit (ce que je crains...), la conclusion est fausse. En effet, on se retrouverait avec une forme indéterminée du type "0/0".
En revanche, je te conseille d'utiliser un changement de variables en coordonnées polaires (x = rcos(théta), y = rsin(théta) avec r > 0 et théta dans ]0, 2pi[). Ainsi, il sera beaucoup plus simple de conclure.

Hors ligne

#3 05-12-2020 23:00:57

Bob2050
Invité

Re : continuité d'une fonction sur R^2

Bonsoir,

Merci pour ta réponse.
Je viens de faire ce que tu m'as suggéré et j'obtiens que:
|f(x,y)-f(0,0)| = | cos(thêta)* cos (1/r)|.
Donc |f(x,y)-f(0,0)| ≠0
Et donc f n'est pas continue en (0,0).
Est ce correct s'il te plait Romaiys?
Merci.

#4 06-12-2020 00:12:41

mourad.t
Membre
Inscription : 28-03-2020
Messages : 12

Re : continuité d'une fonction sur R^2

bonjour,

tu peu utiliser le critère séquentiel pour prouver qu'elle n'est pas continue.


par l'absurde, si [tex]f[/tex] admet une limite [tex]l[/tex] en [tex](0,0)[/tex] alors d'après le critère séquentiel pout toute suite [tex]U_n[/tex] qui tend vers (0,0), vérifie [tex]f(U_n)    \xrightarrow[\text{n}  \rightarrow {+\infty}]{\text{}}   l[/tex]

or on a: [tex]f(\frac {1}{\pi (2n)},0) \xrightarrow[\text{n}  \rightarrow {+\infty}]{\text{}} 1[/tex]     et [tex]f(\frac {1}{\pi (2n+1)},0) \xrightarrow[\text{n}  \rightarrow {+\infty}]{\text{}} {-}1[/tex]

donc [tex]f[/tex] n'est pas continue en (0,0)

Dernière modification par mourad.t (06-12-2020 00:16:47)

Hors ligne

#5 06-12-2020 01:17:31

Bob2050
Invité

Re : continuité d'une fonction sur R^2

Bonsoir Mourad,

Merci pour ta réponse.
J'ai cependant une question si tu veux bien.
Comme on sait que f(0,0) = 0, une seule suite ne suffit-elle pas pour dire que f n'est pas continue à partir du moment ou elle ne tend pas vers 0 en l'infini? Par exemple la suite que tu as donnée Un= (1/(2*pi *n), 0) qui tend vers (0,0) en l'infini et pour laquelle f(Un) tend vers  1 ≠ 0 ne suffit-elle pas pour dire que f n'est pas continue en (0,0). La seconde suite est elle vraiment utile?
Merci encore pour ton aide.

#6 06-12-2020 03:38:37

mourad.t
Membre
Inscription : 28-03-2020
Messages : 12

Re : continuité d'une fonction sur R^2

Bonsoir Bob2050,

Pardon je n'ai pas vu f(0,0)=0,c'est pour ca j'ai donné deux suite.

regard le Théorème (caractérisation séquentielle de la continuité) ici http://www.bibmath.net/ressources/index … nuite.html
d'apres le theoreme
ya une équivalence entre la proposition P1:[tex][f\,est\,continue\,en\,(0,0)][/tex]
et P2:[tex][\forall \,(U_n) \, qui\,converge\,vers\,(0,0),\, alors\,(f(U_n))\,converge\,vers\,f(0,0)=0] [/tex]

a partir du moment ou j'ai trouver une suite [tex](U_n)[/tex] qui converge vers ZERO et  [tex](f(U_n))[/tex] ne converge pas vers 0
donc la négation de P2 :[tex][\exists \,(U_n)\, qui\,converge\,vers\,(0,0),\, et\,(f(U_n))\,ne\,converge\,pas\,vers\,f(0,0)=0][/tex] est vrai
donc P2 est fausse alors P1 est fausse. (car (P1 [tex] \Leftrightarrow[/tex] P2) est vrai donc P1 et P2 ont ont meme valeur de vérité)


Donc une seule suite suffit pour dire que f n'est pas continue
pardon si j'ai raconté des conneries.

Dernière modification par mourad.t (06-12-2020 04:25:27)

Hors ligne

#7 06-12-2020 12:18:51

Bob2050
Invité

Re : continuité d'une fonction sur R^2

Bonjour Mourad.t,

Encore merci pour tes explications et pour le lien.
Bonne journée.

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