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#1 03-12-2020 20:38:38

Garnier
Invité

Equation fonctionnelle

Bonjour je n'arrive pas à resoudre l'équation fonctionnelle :

f'(x)f(-x)=1

#2 03-12-2020 21:13:38

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 835

Re : Equation fonctionnelle

Bonjour,

  Voici une idée. Tu peux aussi écrire l'équation $f(-x)=1/f'(x)$. En dérivant, on trouve $-f'(-x)=-f''(x)/(f'(x))^2$.
Mais $f'(-x)=1/f(x)$, et donc on trouve, sauf erreur de calculs de ma part : $f'(x)^2-f(x)f''(x)=0$.
Si on pose $g(x)=f(x)/f'(x)$, alors la relation précédente nous dit que $g'(x)=0$.
Ainsi, $g$ est constante et il existe un réel $a$ tel que $f'(x)=af(x)$.
C'est une équation différentielle que l'on sait résoudre, et on trouve qu'il existe $C$ tel que $f(x)=C\exp(ax)$.

Maintenant, on n'a pas raisonné par équivalence, mais seulement par implication, et il faut encore trouver parmi ces fonctions lesquelles vérifient l'équation initiale.

F.

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