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#1 03-12-2020 10:11:04

pixehi
Membre
Inscription : 03-12-2020
Messages : 2

Développement limité

Bonjour,

Je dois passer de $Un = ln(n)-2ln(n+1)+ln(n+2)$ à $Un = \frac{α}{n^2} + o(\frac{1}{n^2})$
Avec $α$ un nombre réel que l'ont doit trouver

Le problème c'est que je quand je fais mon développement limité je tombe sur $Un=\frac{-1}{(n+1)^2}+o(\frac{1}{(n+1)^2})$

J'aimerais donc un peu d'aide ou au moins une indication sur comment arriver à ce résultat

Merci d'avance

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#2 03-12-2020 10:45:16

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 1 093

Re : Développement limité

Bonjour,

je pense en exploitant : $\frac{1}{(n+1)^2}=\frac {1}{n^2(1+\frac{1}{n})^2}$.
Ensuite $\frac {1}{(1+\frac{1}{n})^2}$ est de la forme $\frac {1}{1+x}$ avec $x$ qui tend vers 0.
Or $\frac {1}{1+x}=1-x+o(x^2)$ ..

Dernière modification par Zebulor (03-12-2020 10:55:43)

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#3 03-12-2020 12:08:43

pixehi
Membre
Inscription : 03-12-2020
Messages : 2

Re : Développement limité

J'ai essayé mais à la fin il me reste encore un $\frac{1}{n}$ que je n'arrive pas à faire partir

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#4 03-12-2020 12:22:26

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 1 093

Re : Développement limité

Tu as  $\Large \frac{-1}{(n+1)^2}=\frac {-1}{n^2} \frac {1}{(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2})}=\frac {-1}{n^2}(1-\frac{2}{n}-o(\frac{1}{n}))=\frac {-1}{n^2}+o(\frac{1}{n^2})$.

Mais plus directement sans aucun calcul sachant que  $Un=\frac{-1}{(n+1)^2}+o(\frac{1}{(n+1)^2})$ et $\Large \frac{1}{(n+1)^2}\sim_{+\infty}\frac {1}{n^2}$, on pouvait écrire de suite  $Un=\frac{-1}{n^2}+o(\frac{1}{n^2})$.

Dernière modification par Zebulor (03-12-2020 21:09:16)

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