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#1 02-12-2020 18:09:52

MattOPI
Invité

Ecart puissance de 2 et de 3

Est-ce quelqu'un saurait démontrer ce résultat? Si il est vrai déjà parce que c'est pas gagné ^^'
J'ai aucune idée de comment partir, je dirais que ca marche mais j'en suis même pas sur...

$\forall \epsilon \in \mathbb{R}, \exists i,j \in \mathbb{N}$ avec $i,j >1 $ tel que $\frac{|2^i - 3^j|}{3^j} \leq \epsilon$


Merci d'avance

#2 02-12-2020 18:26:54

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 1 093

Re : Ecart puissance de 2 et de 3

Bonsoir,
tu peux regarder ce qui se passe pour $\epsilon=0$

Hors ligne

#3 02-12-2020 18:53:18

MattOPI
Invité

Re : Ecart puissance de 2 et de 3

oui désolé, on regarde $\epsilon \in \mathbb{R}^{+*}$

#4 02-12-2020 20:26:36

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 1 093

Re : Ecart puissance de 2 et de 3

Re,
As tu essayé de considérer la contraposée ?

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#5 02-12-2020 21:52:42

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 835

Re : Ecart puissance de 2 et de 3

Bonsoir,

  Cela ne me semble pas si facile. As-tu étudié la densité dans $\mathbb R$ des ensembles (groupes) de la forme $a\mathbb Z+b\mathbb Z$???

F.

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#6 02-12-2020 22:02:20

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 1 093

Re : Ecart puissance de 2 et de 3

re,
en étudiant la contraposée j'ai l'impression que le problème revient à savoir si entre ces puissances de 2 et 3 il existe toujours un réel...

Hors ligne

#7 03-12-2020 07:02:54

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 835

Re : Ecart puissance de 2 et de 3

Re-
Je n'ai pas compris ce que tu entendais par contraposée dans ce cadre....

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#8 03-12-2020 08:29:00

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 1 093

Re : Ecart puissance de 2 et de 3

re,
Chercher à savoir s'il existe un $\epsilon \gt 0 $ qui vérifierait $\frac{|2^i - 3^j|}{3^j} \gt \epsilon$ pour tout couple $(i;j)$  tel que $i>1$ et $j>1$.
En fait je pensais plutôt à la proposition contraire que la contraposée.

Dernière modification par Zebulor (04-12-2020 20:36:01)

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