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#1 28-11-2020 17:00:15

Cocomaths
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Intégrable (mesure de Lebesgue)

Bonjour à toutes et à tous !

J'ai un exercice qui me pose quelques problème.

Soit la fonction définie sur $R$ par $\phi (x) = x ^{-1/2}$ si $x \in ]0,1]$ et $\phi (x)=0$ sinon

1) Montrer que $\phi$ est intégrable sur $R$ pour la mesure de Lebesgue $\lambda$ sur $R$

Il faut montrer que :

i) $\phi$ est $(R, \lambda)$ mesurable
$\phi^{-1} (x) = x^{-2} $ pour  $x \in ]0,1]$
Montrons que pour tout $B \in B(R) $ $\phi^{-1}(B) \in B(R)$
Mais là je ne sais pas comment m'y prendre . Mais je sais par exemple que $]0,1[ \in B(R)$ mais je n'arrive pas à aller plus loin.

$\phi (x)=0$ sinon donc mesurable

ii) $\int_{0}^{1}{x^{-1/2}} = 2 < + \infty$  et $\int_{0}^{+ \infty}{0} = 0< + \infty$ 

Donc $\phi$ est intégrable sur $R$

2) Soient $k \rightarrow r_k$ une bijection de $N$ vers $Q$ et une suite de fonctions $f_n$ sur $R$ tel que :
$f_n(x)=\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{2^k}\phi (x -r_k)}$. Montrer que $f_n$ converge simplement vers $f : R \rightarrow R_+ U \left\{+ \infty \right\}$ non bornée sur tout intervalle ouvert non vide de $R$

J'avais pour idée de poser $f_k = \frac{1}{2^k}\phi (x -r_k)$
$f_k$ est une fonction positive sur $R_+$
Donc $f_n$est une suite croissante de fonction positives mesurables.
Je poserais aussi $f(x)= \sum _{n \geq 0} f_n(x)$ donc $ f: R \rightarrow R_+ U \left\{+ \infty \right\}$

Donc $f_k$ est une fonction positive sur $R_+$ qui converge simplement vers $ f: R \rightarrow R_+ U \left\{+ \infty \right\}$

Mais je ne sais pas si le raisonnement est là étant donné que j'ai l'impression je ne me suis pas servie de "$k \rightarrow r_k$ une bijection de $N$ vers $Q$'.

3) Montrer que $f(x) < + \infty$ pour $ \lambda$ - presque tout $x \in R$

Je n'ai pas réellement d'idée mais j'ai posé le problème :

$f(x) =\sum_{n \geq 1} f_n(x) = \sum_{n \geq 1}\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{2^k}\phi (x -r_k)}$

4) Montrer qu'il existe un borélien de mesure non nulle $A \subset R$ tel que f_{|A} (la restriction) est bornée.

Je ne sais pas trop comment chercher ... j'ai essayé de chercher un intervalle ouvert qui est un borélien mais je n'ai pas réussi.



Si vous avez des idées ou des pistes n'hésitez pas , votre aide est la bienvenue !

Bien cordialement

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#2 28-11-2020 17:35:57

Fred
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Re : Intégrable (mesure de Lebesgue)

Bonjour,

1) Ta fonction est continue par morceaux, donc mesurable.

2) Tu n'as pas démontré que $f$ est non bornée sur tout intervalle ouvert non vide, et c'est là qu'il faut utiliser que $k\mapsto r_k$ est une bijection...

3) Et si tu démontrais que $f$ est intégrable???

F.

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#3 28-11-2020 18:12:02

Cocomaths
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Messages : 19

Re : Intégrable (mesure de Lebesgue)

Bonsoir Fred,

1) Oui exacte j'oublie toujours que la continuité implique la mesurabilité !

2) A vrai dire je ne sais pas comment utiliser que $k \rightarrow r_k$ est une bijection.
A part dire que $k \rightarrow r_k$ est surjectif . Je vois bien qu'on "part de $N$ pour aller dans $Q$" mais je ne vois pas ce qu'on peut en déduire ...

3)

Fred a écrit :

3) Et si tu démontrais que $f$ est intégrable???

C'est-à-dire que mon raisonnement où j'avais posé $f(x) = \sum_{n \geq 0} f_n$ était correcte ?

Si c'est le cas, on a montré à la 1) que $\phi$ est intégrable sur $R$

De plus, $\frac {1}{2^k}$ est mesurable et $\int_{0}^{1}{\frac{1}{2^k}}dk = [-\frac{1}{ln(2).2^k}]_0^1 = \frac{1}{2ln(2)} < + \infty$ (je ne suis pas sûr des bornes)
Donc $\frac {1}{2^k}$ est intégrable

Donc $f_n$ est intégrable
Donc $f$ est intégrable donc en particulier $\int{ |f|} < + \infty$ (je ne sais pas les bornes ...) donc $f (x) < + \infty$

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#4 28-11-2020 22:04:56

Fred
Administrateur
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Messages : 5 835

Re : Intégrable (mesure de Lebesgue)

Attention!!! Tu confonds les variables!!! Ton espace d'intégration est $\mathbb R$ et quand tu veux démontrer que $f$ est intégrable, tu veux démontrer que $\int_{\mathbb R} |f(x)|dx$ est fini. Il n'y a pas du tout d'intégration par rapport à $k$ (qui est un entier) qui entre en jeu!!!!

C'est comme si je te demandais que $\phi+\frac 12\phi$ est intégrable sur $\mathbb R$. Tu ne vas pas répondre que $\phi$ est intégrable
sur $\mathbb R$ et que $1/2$ est intégrable sur quoi?????? Tu vas dire
$$\int_{\mathbb R}\left|\phi(x)+\frac 12\phi(x)\right|dx\leq \int_{\mathbb R}|\phi(x)|dx+\frac12\int_{\mathbb R}|\phi(x)|dx=\frac{3}2\int_{\mathbb R}|\phi(x)|dx.$$

Eh bien ici, c'est exactement pareil, sauf que tu as une somme infinie, et pas seulement deux termes....

F.

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#5 29-11-2020 12:34:59

Cocomaths
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Re : Intégrable (mesure de Lebesgue)

Pour la 2)

J'ai une autre idée, on pourrait utiliser le critère de convergence des séries à termes positifs et majorer la série pour montrer que $f_n$ converge simplement vers une fonction $f$
Mais je ne vois pas quelle série convergente prendre, si vous avez une idée
De même je ne sais pas après montrer que $f$ est non bornée sur tout intervalle ouvert non vide (vous m'avez dit il faut utiliser $k \rightarrow r_k$ mais je vois pas comment faire)

Ou si vous avez une autre façon de faire je suis preneur aussi ^^

Pour la 3), j'ai rééfléchi à votre exemple et cela m'a aidé

Soit $f(x) = \sum{n \geq 1} f_n$
Je veux montrer que $\int_R |f(x)| dx$ est fini
Je commence donc par montrer que $\int_R |\sum_{k=0}^{n} |{\frac{1}{2^k} \phi (x -r_k)|}$ est fini

$\int_R |\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{2^k} \phi (x -r_k)|dx} \leq \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^k}\int_R |\frac{1}{2^k} \phi (x -r_k)|dx$

Or d'après la 1) $\phi$ est intégrable donc $\int_R |\frac{1}{2^k} \phi (x -r_k)|dx < + \infty$

Et $\sum_{k=0}^{ \infty} \frac{1}{2^k} = 2 $ donc $\sum_{k=0}^{ n} \frac{1}{2^k} = 2 < +\infty $

Par conséquent, $\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^k}\int_R |\frac{1}{2^k} \phi (x -r_k)|dx < +\infty$

d'où $\int_R f_n dx < +\infty$ et $f_n$ est mesurable donc $f_n$ est intégrable

or $f(x) = \sum_{n \geq 1}f_n$
Donc $f$ est intégrable par somme de fonctions intégrables
Donc $\int_R |f(x)| dx < +\infty$

Donc $|f(x)|  < +\infty$

Pouvez-vous me dire si le raisonnement est correcte où s'il y a des passages flous/incorrects s'il vous plaît.

Je vous remercie d'avance !

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#6 29-11-2020 17:12:05

Fred
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Messages : 5 835

Re : Intégrable (mesure de Lebesgue)

Cocomaths a écrit :

Pour la 2)

J'ai une autre idée, on pourrait utiliser le critère de convergence des séries à termes positifs et majorer la série pour montrer que $f_n$ converge simplement vers une fonction $f$
Mais je ne vois pas quelle série convergente prendre, si vous avez une idée
De même je ne sais pas après montrer que $f$ est non bornée sur tout intervalle ouvert non vide (vous m'avez dit il faut utiliser $k \rightarrow r_k$ mais je vois pas comment faire)

Ou si vous avez une autre façon de faire je suis preneur aussi ^^

Pour la 3), j'ai rééfléchi à votre exemple et cela m'a aidé

Soit $f(x) = \sum{n \geq 1} f_n$
Je veux montrer que $\int_R |f(x)| dx$ est fini
Je commence donc par montrer que $\int_R |\sum_{k=0}^{n} |{\frac{1}{2^k} \phi (x -r_k)|}$ est fini

$\int_R |\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{2^k} \phi (x -r_k)|dx} \leq \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^k}\int_R |\frac{1}{2^k} \phi (x -r_k)|dx$

Or d'après la 1) $\phi$ est intégrable donc $\int_R |\frac{1}{2^k} \phi (x -r_k)|dx < + \infty$

Et $\sum_{k=0}^{ \infty} \frac{1}{2^k} = 2 $ donc $\sum_{k=0}^{ n} \frac{1}{2^k} = 2 < +\infty $

Par conséquent, $\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^k}\int_R |\frac{1}{2^k} \phi (x -r_k)|dx < +\infty$

Pour moi, oui, ce passage est flou.

d'où $\int_R f_n dx < +\infty$ et $f_n$ est mesurable donc $f_n$ est intégrable

or $f(x) = \sum_{n \geq 1}f_n$
Donc $f$ est intégrable par somme de fonctions intégrables

Ca aussi c'est flou (et même faux en toute généralité).

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#7 29-11-2020 17:48:25

Cocomaths
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Re : Intégrable (mesure de Lebesgue)

Pour résumer et essayer d'être clair,

Pour la 2) je ne sais pas (après avoir essayé plusieurs méthodes) comment montrer que $f_n (x) = \sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k} \phi(x -r_k)$ converge simplement vers une fonction $f: R \rightarrow R_+ U \left\{+\infty \right\} $ non bornée sur tout intervalle ouvert non vide de $R$

Si vous pouviez m'écrire votre raisonnement/ réponse cela m'aiderait beaucoup.

Pour la 3) vous m'aviez dit que pour montrer que $f(x) < +\infty$ il fallait montrer que $f$ est intégrable.
Et pour montrer que $f$ est intégrable il faut montrer que

i) $f$ est mesurable (c'est le cas ici car $f_n$ est mesurable donc f est la somme de fonctions mesurables donc f est mesurable (il me semble que cette propriété existe).

ii) $\int_R |f(x)| dx$ est fini
Or $f(x) = \sum_{n \geq 1} f_n$ donc il faut que je montre que $\int_R |\sum{n \geq 1} f_n| dx < +\infty$ autrement $\int_R |\sum{n \geq 1}\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k} \phi(x -r_k) | dx < +\infty$

Et ma question est donc comment montrer que $\int_R |\sum{n \geq 1}\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k} \phi(x -r_k) | dx$ est fini ?

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#8 29-11-2020 19:27:19

Fred
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Re : Intégrable (mesure de Lebesgue)

Attention ! Dans la question 2 on te parle de la suite $f_n$ pas de la somme de ces fonctions !

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#9 30-11-2020 17:52:02

Cocomaths
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Messages : 19

Re : Intégrable (mesure de Lebesgue)

Oui oui c'est vrai et elle est même croissante mais quel théorème doit-on utiliser pour cette question ?

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