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#1 28-11-2020 16:03:27

Arthuroua
Invité

Algebre linéaire

Bonjour,

Je vais bientôt passer des examens en Algèbre linéaire et il y a quelque chose que je ne sais pas faire. Pourriez-vous m'expliquer comment dois-je répondre à ces 2 questions ?


1) Soit M ∈ Mn(R) une matrice diagonalisable. Montrer qu’il existe une matrice complexe N tel que N2 = M. Ce résultat est-il encore vrai si on impose N réelle ?

2) Soit u ∈ R^n tel que f^(p−1) de (u) soit différent de 0. Montrer que la famille (u, f(u), . . . , f(p−1) de (u)) est libre. En déduire que p ≤ n.

3) Démontrer que f nilpotent d’ordre n si et seulement si il existe une base C de R^n telle que la matrice f dans la base C, notée M, s’écrit

M= Matrice avec que des 0 sauf sur la diagonale à droite de la diagonale principale qui contient que des 1.

Merci pour votre aide.

#2 28-11-2020 16:07:09

Arthuroua
Invité

Re : Algebre linéaire

Oups il y avait quelques erreurs que je viens de corriger


Bonjour,

Je vais bientôt passer des examens en Algèbre linéaire et il y a quelque chose que je ne sais pas faire. Pourriez-vous m'expliquer comment dois-je répondre à ces 3 questions ?


1) Soit M ∈ Mn(R) une matrice diagonalisable. Montrer qu’il existe une matrice complexe N tel que N^2 = M. Ce résultat est-il encore vrai si on impose N réelle ?

2) Soit u ∈ R^n tel que f^(p−1) de (u) soit différent de 0. Montrer que la famille (u, f(u), . . . , f(p−1) de (u)) est libre. En déduire que p ≤ n.

3) Démontrer que f nilpotent d’ordre n si et seulement si il existe une base C de R^n telle que la matrice f dans la base C, notée M, s’écrit

M= Matrice avec que des 0 sauf sur la diagonale à droite de la diagonale principale qui contient que des 1.

Merci pour votre aide.

#3 28-11-2020 16:51:36

Fred
Administrateur
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Re : Algebre linéaire

Bonjour,

1) Commence par montrer le résultat si $M$ est diagonale.

2) Je pense qu'il manque une hypothèse sur $f$!

3) Il va très certainement falloir utiliser le résultat de la question précédente!

F.

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#4 28-11-2020 17:18:46

Arthuroua
Invité

Re : Algebre linéaire

Oui f appartient à L(E) avec E un R espace vectoriel de dimension n et f est nilpotent d'ordre p>=2 et f^(p)=0

#5 28-11-2020 17:32:12

Fred
Administrateur
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Re : Algebre linéaire

Pour la 2), tu démarres de $a_0 u +a_1 f(u)+\cdots +a_{p-1}f^{(p-1)}(u)=0$, puis tu composes par $f^{(p-1)}$. Que peux-tu en déduire? Il faut alors continuer ainsi...

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#6 28-11-2020 17:55:01

Arthuroua
Invité

Re : Algebre linéaire

J''essaye sincèrement depuis 1h de comprendre quoi faire mais je ne vois pas

#7 28-11-2020 19:50:31

Fred
Administrateur
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Re : Algebre linéaire

Qu'est ce qui se passe si tu appliques f à cette égalité ? Quelle égalité obtiens tu? Est ce que tu ne peux pas simplifier un terme?

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#8 28-11-2020 20:32:32

Arthuroua
Invité

Re : Algebre linéaire

Non je ne comprends pas ce que je dois faire dans cet exercice, je penses que je vais plutôt essayer de voir ça avec mon prof même s'il avait dit qu'il ne serait sans doute pas là cette semaine pour qu'il me donne un corrigé détaillé

#9 28-11-2020 21:58:26

Fred
Administrateur
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Re : Algebre linéaire

Je pense surtout que tu ne veux pas suivre mes conseils :
Tu pars de l'égalité $a_0 u+\cdots +a_{p-1} f^{p-1}(u)=0$ et tu veux démontrer que $a_0=\cdots=a_{p-1}=0$ (ce qu'on fait toujours pour démontrer qu'une famille est libre). Et je te demande de calculer
$f\big( a_0 u+\cdots +a_{p-1} f^{p-1}(u) \big)$... Si tu connais la définition d'une application linéaire, ce n'est pas sorcier!!!!

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#10 28-11-2020 22:25:48

Arthuroua
Invité

Re : Algebre linéaire

Si je pars de la définition d'une application linéaire, j'en déduit que c'est égal à f(a0 u)+f(a1 f(u))+...+f(ap-1 f^(p-1)(u)) puis que c'est égale à a0 f(u) + a1 f(f(u)) +...+ ap-1 f(f^(p-1)(u))

#11 29-11-2020 06:03:44

Fred
Administrateur
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Re : Algebre linéaire

Oui mais f(f(u)) tu peux l'écrire plus simplement non?

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#12 29-11-2020 10:32:23

Arthuroua
Invité

Re : Algebre linéaire

Je peux l'écrire comme f^2 (u)

#13 29-11-2020 16:53:27

Arthuroua
Invité

Re : Algebre linéaire

?

#14 29-11-2020 17:08:13

Fred
Administrateur
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Re : Algebre linéaire

Et tu peux faire la même chose avec les autres termes, non? Puis utiliser l'hypothèse????

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#15 29-11-2020 17:40:11

Arthuroua
Invité

Re : Algebre linéaire

C'est ce que je comptais faire mais il y a f^p à la fin qui lui sera égal à 0

#16 29-11-2020 18:04:42

Arthuroua
Invité

Re : Algebre linéaire

Je me retrouve donc avec : a0 f(u) + a1 f^2 (u) +...+ ap-1 f^(p) (u). Je sais que tout les f^(p-1) sont  différent de 0 et f^(p)=0

#17 29-11-2020 19:24:46

Fred
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Re : Algebre linéaire

Ben justement s'il est égal à zéro c'est plus simple non?

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#18 29-11-2020 19:57:18

Arthuroua
Invité

Re : Algebre linéaire

Je ne comprends pas, là j'ai a0 f(u) + a1 f^2 (u) +...+ ap-1 f^(p) (u) sachant que f^(p)=0 et f^(p-1) différent de 0. Comment montrer à partir de ca que a0=a1=...=ap-1=0.

Si f^p=0 alors ap-1 pourrait être différent de 0 non ?

#19 29-11-2020 21:09:00

Fred
Administrateur
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Messages : 5 835

Re : Algebre linéaire

Tu n'écris jamais la relation de liaison. Tu avais au départ
$$a_0 u+a_1f(u)+\dots+a_{p-1}f^{p-1}(u)=0.$$
En particulier, il y avait $p$ termes dans le membre de gauche. En composant par $f$, tu as obtenu :
$$a_0 f(u)+a_1f^2(u)+\dots+a_{p-2}f^{p-1}(u)+a_{p-1}f^{p}(u)=0.$$
Puisque $f^p=0$, tu peux enlever le dernier terme, et donc tu as
$$a_0 f(u)+a_1f^2(u)+\dots+a_{p-2}f^{p-1}(u)=0.$$
Là, il n'y a plus que $p-1$ termes dans le membre de gauche. Bien sûr, pour le moment, tu ne peux pas encore en déduire qu'un seul des $a_i$ est nul, mais une équation avec $p-1$ termes plutôt que $p$ termes, et bien moi, je trouve cela plus facile!

Et maintenant, j'ai initié ce qu'il faut faire. Avec EXACTEMENT LA MEME méthode, tu dois pouvoir avoir une équation avec $p-2$ termes, puis $p-3$ termes,..., jusqu'à ne plus en avoir qu'un seul. Et là, quand tu en as un seul, tu peux déduire quelque chose!!!!!!

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#20 29-11-2020 22:14:13

Arthuroua
Invité

Re : Algebre linéaire

Oui, en effet si l'on procède de même jusqu'à avoir plus qu'un seul terme, on arrive à a0*f^(p-1)=0 ce qui équivaut à dire que a0=0 car
f^(p-1) différent de 0.

#21 29-11-2020 22:22:11

Arthuroua
Invité

Re : Algebre linéaire

Et après en revenant à l'équation de départ le premier terme s'annule, et si on recommence ainsi de suite on montre a chaque fois que le premier terme est égale à 0. Mais pourquoi j'en déduis que p<=n ?

#22 30-11-2020 05:46:50

Fred
Administrateur
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Messages : 5 835

Re : Algebre linéaire

Parce que tu connais ton cours sur le nombre maximal de vecteurs dans une famille libre...

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