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#1 22-11-2020 17:49:37

Lilly
Membre
Inscription : 02-08-2020
Messages : 13

Espace vectoriel

Salut
J'ai cet question
Soit E un espace vectoriel et A un sous espace vectoriel de E
Est ce que  A+A=2A
La réponse normalement est non mais j'ai besoin d'indication pour la démonstration
En fait j'ai commencé par
A+A={a+a / a ∈ A}
Merci.

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#2 22-11-2020 19:36:14

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 172

Re : Espace vectoriel

Bonjour,

C'est un bon début. Maintenant, que vaut $a+a$ ?

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#3 22-11-2020 20:53:10

Lilly
Membre
Inscription : 02-08-2020
Messages : 13

Re : Espace vectoriel

a+a =2a  ??
Si oui , on trouve que A +A   inclus dans 2A

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#4 22-11-2020 21:32:07

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 172

Re : Espace vectoriel

Oui $a+a = 2a$, ce n'était pas très dur !

Du coup : $A+A = \{2a / a \in A\}$. Que peux-tu dire maintenant ? (indice utiliser les axiomes d'un espace vectoriel).

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#5 23-11-2020 21:10:24

Lilly
Membre
Inscription : 02-08-2020
Messages : 13

Re : Espace vectoriel

2a ∈ A  donc A+A inclus dans A  ??
Est ce que A+A =A?

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#6 23-11-2020 21:12:53

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 172

Re : Espace vectoriel

Oui exactement ! $A+A = A$ puisque $A+A = \{2a/a \in A\} = \{a/a \in A\}$ en multipliant par le scalaire 1/2. En effet : soit $x \in E$. On a : $x \in A+A \Leftrightarrow \exists a \in A, x = 2a \Leftrightarrow \exists 2a \in A, x = 2a \Leftrightarrow \exists a \in A, x = a$. On utilise bien le fait que $A$ est un sev de $E$. De même, $2A = A$, donc $A+A = 2A = A$ !

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#7 24-11-2020 08:50:59

Lilly
Membre
Inscription : 02-08-2020
Messages : 13

Re : Espace vectoriel

C'est trés clair merci.
Mais,en principe A +A ≠2 A en général (comme notre prof nous dit)

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#8 24-11-2020 10:21:58

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 172

Re : Espace vectoriel

Oui en effet, c'est une propriété propre aux espaces vectoriels !

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#9 Aujourd'hui 18:07:35

Lilly
Membre
Inscription : 02-08-2020
Messages : 13

Re : Espace vectoriel

Merci beaucoup.

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