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#1 27-11-2020 13:19:13

Bill
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Analyse

Bonjour à tous,

J’ai une petite question qui me prend un peu la tête sur l’exercice suivant :

Soit $ z, c  \in \mathbb{C},  m >=3, |z| =1, |c|=3 $ et $ w= exp(\frac{2\pi i}{m}) $
Trouver $ \frac{1}{m} \sum_{0<=j<m} |z+w^jc|^2w^j $

Nous avons

$ \sum_{0<=j<m} |z+w^j c|^2w^j $ = $ \sum_{0<=j<m} [(|z|^2 + |c|^2)w^j + \bar z cw ^{2j}+ z \bar c $

Comme:
$ \sum_{0<=j<m} w^j= \frac{1-w^m}{1-w} =0$ et $ \sum_{0<=j<m}w^{2j}= \frac{1-w^{2m}}{1-w^2} =0$

(On utilise le fait que $w, w^2$ différent de 1) nous obtenons que:
$ \sum_{0<=j<m} |z+w^j c|^2w^j $ =$ \frac{1}{m}\sum_{0<=j<m}z\bar c= z\bar c $

Ma question est: comment exprimer $ z\bar c$ en fonction de |z| et |c| pour déterminer la valeur numérique de la réponse trouvée ?

Merci pour vos retours.

Bill

Dernière modification par Bill (27-11-2020 15:57:05)

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#2 27-11-2020 14:20:31

Fred
Administrateur
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Messages : 5 835

Re : Analyse

Bonjour,

  Je ne comprends pas du tout ta première égalité...

F.

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#3 27-11-2020 14:47:09

Bill
Membre
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Re : Analyse

Bonjour Fred,
Dans la première égalité, j’ai juste développé le carré de la norme $|z + w^2c|$ puis je l´ai factorisé selon les puissances de $w^j$ pour me permettre d’annuler les quantités facteur de $w^j$ dans la suite de mes calculs.

(Y’avait une petite erreur dans l’expression de $w^j$ dans la parenthèse, et dans l’énoncé. je les ai rectifié. Désolé)

Bill.

Dernière modification par Bill (27-11-2020 15:59:19)

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#4 27-11-2020 14:53:27

Zebulor
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Re : Analyse

Bonjour,

Bill a écrit :

$ \sum_{0<=j<m} |z+w^2 c|^2w^j $ = $ \sum_{0<=j<m} [(|z|^2 + |c|^2)w^j + \bar z cw ^{2j}+ z \bar c $

pour ma part je ne comprends pas d'où vient ceci :
$  \bar z cw ^{2j}+ z \bar c $

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#5 27-11-2020 15:54:57

Bill
Membre
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Re : Analyse

Bonjour zebulor,

Voici le détail de mon développement :
$|z + w^jc|^2w^j =(|z|^2+|c|^2+ \bar z cw^j+z \bar c w^{-j})w^j $ $= (|z|^2+|c|^2)w^j+ \bar z cw^{2j}+ z \bar c $

Désolé, y’avait aussi une faute de frappe dans l'énoncé.

Dernière modification par Bill (27-11-2020 16:12:35)

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#6 27-11-2020 16:20:59

Zebulor
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Re : Analyse

Bonsoir Bill,
j'ai un : $z \bar c \omega^{j-2}+c \bar z \omega^{j+2}$

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#7 27-11-2020 16:24:21

Bill
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Re : Analyse

Zebulor a écrit :

Bonsoir Bill,
j'ai un : $z \bar c \omega^{j-2}+c \bar z \omega^{j+2}$

Bonsoir Zebulor,

J’ai corrigé l’énoncé, j’avais commis une erreur de frappe; j’avais écris $w^2$ au lieu de $w^j$. Désolé pour cette erreur

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#8 27-11-2020 17:04:08

Zebulor
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Re : Analyse

re,
rien de grave, c est pas toujours simple d'écrire tout àçà en latex ..une autre chose m'interpelle :

Bill a écrit :

$ \frac{1}{m}\sum_{0<=j<m}z\bar c= z\bar c $
Bill

est ce que ça serait pas : $ \frac{1}{m}\sum_{1<=j<m}z\bar c= z\bar c $ ?
Dans les deux autres sommes $ \sum_{0<=j<m}...$ on dirait qu'il y a un souci de comptage car elles contiennent $m+1$ termes

Dernière modification par Zebulor (27-11-2020 17:18:15)

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#9 27-11-2020 17:29:05

Bill
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Messages : 46

Re : Analyse

Zebulor a écrit :

re,
rien de grave, c est pas toujours simple d'écrire tout àçà en latex ..une autre chose m'interpelle :

Bill a écrit :

$ \frac{1}{m}\sum_{0<=j<m}z\bar c= z\bar c $
Bill

est ce que ça serait pas : $ \frac{1}{m}\sum_{1<=j<m}z\bar c= z\bar c $ ?
Dans les deux autres sommes $ \sum_{0<=j<m}...$ on dirait qu'il y a un souci de comptage car elles contiennent $m+1$ termes

Non, dans l’énoncé j’ai bien $ \frac{1}{m}\sum_{0<=j<m},$ mais si je ne trompe pas $ \sum_{0<=j<m}$ = m.

Mais mon problème principal est surtout, comment exprimer $ \bar z c$ en fonction de |z| ou |c| pour effectuer l’application numérique.

Bill

Dernière modification par Bill (27-11-2020 17:34:59)

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#10 27-11-2020 17:32:11

Zebulor
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Messages : 1 093

Re : Analyse

oui, j'avais pas vu l'inégalité stricte sur $m$

Dernière modification par Zebulor (27-11-2020 17:35:15)

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#11 27-11-2020 17:42:13

Bill
Membre
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Messages : 46

Re : Analyse

Zebulor a écrit :

oui, j'avais pas vu l'inégalité stricte sur $m$

D’accord, du coup t’aurais une idée pour  exprimer $ \bar z c$ en fonction de |z| ou |c|, c’est surtout ça qui me prend un peu la tête.

Bill

Dernière modification par Bill (27-11-2020 17:42:40)

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#12 27-11-2020 17:46:33

Zebulor
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Messages : 1 093

Re : Analyse

Etant donné que : $ z, c  \in \mathbb{C}$,  $\bar z c $ n'est pas nécessairement réel.. on peut l'écrire $\frac {c}{z}$ mais ça n'avance pas plus..
ou alors il y a une erreur de calcul quelque part ?

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#13 27-11-2020 18:05:53

Bill
Membre
Inscription : 20-01-2020
Messages : 46

Re : Analyse

Zebulor a écrit :

Etant donné que : $ z, c  \in \mathbb{C}$,  $\bar z c $ n'est pas nécessairement réel.. on peut l'écrire $\frac {c}{z}$ mais ça n'avance pas plus..
ou alors il y a une erreur de calcul quelque part ?

Merci pour aide, je vais continuer à réfléchir dessus.

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