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#1 27-11-2020 15:19:13
- Bill
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Analyse
Bonjour à tous,
J’ai une petite question qui me prend un peu la tête sur l’exercice suivant :
Soit $ z, c \in \mathbb{C}, m >=3, |z| =1, |c|=3 $ et $ w= exp(\frac{2\pi i}{m}) $
Trouver $ \frac{1}{m} \sum_{0<=j<m} |z+w^jc|^2w^j $
Nous avons
$ \sum_{0<=j<m} |z+w^j c|^2w^j $ = $ \sum_{0<=j<m} [(|z|^2 + |c|^2)w^j + \bar z cw ^{2j}+ z \bar c $
Comme:
$ \sum_{0<=j<m} w^j= \frac{1-w^m}{1-w} =0$ et $ \sum_{0<=j<m}w^{2j}= \frac{1-w^{2m}}{1-w^2} =0$
(On utilise le fait que $w, w^2$ différent de 1) nous obtenons que:
$ \sum_{0<=j<m} |z+w^j c|^2w^j $ =$ \frac{1}{m}\sum_{0<=j<m}z\bar c= z\bar c $
Ma question est: comment exprimer $ z\bar c$ en fonction de |z| et |c| pour déterminer la valeur numérique de la réponse trouvée ?
Merci pour vos retours.
Bill
Dernière modification par Bill (27-11-2020 17:57:05)
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#3 27-11-2020 16:47:09
- Bill
- Membre
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Re : Analyse
Bonjour Fred,
Dans la première égalité, j’ai juste développé le carré de la norme $|z + w^2c|$ puis je l´ai factorisé selon les puissances de $w^j$ pour me permettre d’annuler les quantités facteur de $w^j$ dans la suite de mes calculs.
(Y’avait une petite erreur dans l’expression de $w^j$ dans la parenthèse, et dans l’énoncé. je les ai rectifié. Désolé)
Bill.
Dernière modification par Bill (27-11-2020 17:59:19)
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#4 27-11-2020 16:53:27
- Zebulor
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Re : Analyse
Bonjour,
$ \sum_{0<=j<m} |z+w^2 c|^2w^j $ = $ \sum_{0<=j<m} [(|z|^2 + |c|^2)w^j + \bar z cw ^{2j}+ z \bar c $
pour ma part je ne comprends pas d'où vient ceci :
$ \bar z cw ^{2j}+ z \bar c $
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#5 27-11-2020 17:54:57
- Bill
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Re : Analyse
Bonjour zebulor,
Voici le détail de mon développement :
$|z + w^jc|^2w^j =(|z|^2+|c|^2+ \bar z cw^j+z \bar c w^{-j})w^j $ $= (|z|^2+|c|^2)w^j+ \bar z cw^{2j}+ z \bar c $
Désolé, y’avait aussi une faute de frappe dans l'énoncé.
Dernière modification par Bill (27-11-2020 18:12:35)
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#7 27-11-2020 18:24:21
- Bill
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Re : Analyse
Bonsoir Bill,
j'ai un : $z \bar c \omega^{j-2}+c \bar z \omega^{j+2}$
Bonsoir Zebulor,
J’ai corrigé l’énoncé, j’avais commis une erreur de frappe; j’avais écris $w^2$ au lieu de $w^j$. Désolé pour cette erreur
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#8 27-11-2020 19:04:08
- Zebulor
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Re : Analyse
re,
rien de grave, c est pas toujours simple d'écrire tout àçà en latex ..une autre chose m'interpelle :
$ \frac{1}{m}\sum_{0<=j<m}z\bar c= z\bar c $
Bill
est ce que ça serait pas : $ \frac{1}{m}\sum_{1<=j<m}z\bar c= z\bar c $ ?
Dans les deux autres sommes $ \sum_{0<=j<m}...$ on dirait qu'il y a un souci de comptage car elles contiennent $m+1$ termes
Dernière modification par Zebulor (27-11-2020 19:18:15)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#9 27-11-2020 19:29:05
- Bill
- Membre
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Re : Analyse
re,
rien de grave, c est pas toujours simple d'écrire tout àçà en latex ..une autre chose m'interpelle :Bill a écrit :$ \frac{1}{m}\sum_{0<=j<m}z\bar c= z\bar c $
Billest ce que ça serait pas : $ \frac{1}{m}\sum_{1<=j<m}z\bar c= z\bar c $ ?
Dans les deux autres sommes $ \sum_{0<=j<m}...$ on dirait qu'il y a un souci de comptage car elles contiennent $m+1$ termes
Non, dans l’énoncé j’ai bien $ \frac{1}{m}\sum_{0<=j<m},$ mais si je ne trompe pas $ \sum_{0<=j<m}$ = m.
Mais mon problème principal est surtout, comment exprimer $ \bar z c$ en fonction de |z| ou |c| pour effectuer l’application numérique.
Bill
Dernière modification par Bill (27-11-2020 19:34:59)
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#11 27-11-2020 19:42:13
- Bill
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Re : Analyse
oui, j'avais pas vu l'inégalité stricte sur $m$
D’accord, du coup t’aurais une idée pour exprimer $ \bar z c$ en fonction de |z| ou |c|, c’est surtout ça qui me prend un peu la tête.
Bill
Dernière modification par Bill (27-11-2020 19:42:40)
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#12 27-11-2020 19:46:33
- Zebulor
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Re : Analyse
Etant donné que : $ z, c \in \mathbb{C}$, $\bar z c $ n'est pas nécessairement réel.. on peut l'écrire $\frac {c}{z}$ mais ça n'avance pas plus..
ou alors il y a une erreur de calcul quelque part ?
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#13 27-11-2020 20:05:53
- Bill
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Re : Analyse
Etant donné que : $ z, c \in \mathbb{C}$, $\bar z c $ n'est pas nécessairement réel.. on peut l'écrire $\frac {c}{z}$ mais ça n'avance pas plus..
ou alors il y a une erreur de calcul quelque part ?
Merci pour aide, je vais continuer à réfléchir dessus.
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