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#1 25-11-2020 13:18:44

Laulau
Membre
Inscription : 12-05-2020
Messages : 16

Separable

Bonjour,

Tout d'abord j'ai trouvé un exemple de polynôme irréductible dans [tex](Z/pZ)(T)[X][/tex] (p premier) dont la dérivée est nulle mais je ne suis pas sûre: je propose [tex]X^2-t[/tex] dans [tex](Z/2Z)(T)[/tex]

De plus, j'aimerai montrer que : ([tex]P= \prod_{i=1}^r P_i^{\alpha_i}[/tex]
Soit [tex]K[/tex] un corps et on suppose [tex]car(K)= 0[/tex]. Montrer que [tex]pgcd(P,P') \in \left\{1,P \right\}[/tex] si et seulement si [tex]P[/tex] est séparable.
Et faire de même si K est parfait et [tex]car(K)=p >0[/tex] et montrer que [tex]pgcd(P,P') \in \left\{1,P \right\}[/tex] si et seulement si [tex]P[/tex] est séparable ou [tex]P'=0[/tex]

Pour la caractéristique nulle,
J'ai démontré avant que si [tex]car(K)=0[/tex] on a [tex]pgcd(P,P')= \prod_{i=1}^r P_i^{\alpha_i-1}[/tex]

Pour la caractéristique p (premier)
J'ai démontré que si [tex]car(K)=p>0[/tex] alors [tex]pgcd(P,P') = \prod_{i=1}^r P_i^{\beta_i}[/tex] tel que si p ne divise pas [tex]\alpha_i[/tex] et [tex]P'_i \neq 0[/tex] alors [tex]\beta_i = \alpha -1[/tex] sinon [tex]\beta_i=\alpha_i[/tex]

Je vous remercie d'avance si vous avez des idées pour les démonstrations

Bien cordialement

Dernière modification par Laulau (26-11-2020 14:09:50)

Hors ligne

#2 26-11-2020 14:50:44

Laulau
Membre
Inscription : 12-05-2020
Messages : 16

Re : Separable

Bonjour,

Je me permets d'écrire mes avancements pour ceux que cela intéresse !

Pour [tex]car(K)= 0[/tex] ,
On suppose [tex]pgcd(P,P') = \left\{1,P \right\}[/tex]
[tex]pgcd(P,P') = \prod_{i=1}^r {P_i^{\alpha_i-1}}[/tex]

[tex]pgcd (P,P') =1[/tex] alors [tex]\prod_{i=1}^r {P_i^{\alpha_i-1}}= 1 \alpha_i-1 = 0[/tex] pour tout [tex]i \in  \left\{1,...,r \right\}[/tex] donc [tex]\alpha_i=1[/tex] mais ici je suis pas certaine de la justification.... D'où [tex]P= \prod_{i=1}^r {P_i}[/tex]

[tex]pgcd(P,P')= P = pgcd(P,0)[/tex] donc [tex]P'=0[/tex] donc P est de degré 1 c'est à dire [tex]\alpha_i=1[/tex] pour tout [tex]i \in  \left\{1,...,r \right\}[/tex]
Donc P est séparable

Réciproquement, supposons P séparable alors [tex]P = \prod_{i=1}^r {P_i}[/tex]
Si [tex]P' = 0[/tex] alors [tex]pgcd(P,P')=pgcd(0,P)=P[/tex]
Si [tex]P' \neq 0[/tex] alors [tex]pgcd(P,P')= \prod_{i=1}^r {P_i^{1-1}}=1[/tex]
Donc [tex]pgcd{P,P'}=\left\{1,P \right\}[/tex]

Mais j'ai un doute avec ce raisonnement, en caractéristique nulle, [tex]P'[/tex] peut-il être égal à [tex]0[/tex] ?

Hors ligne

#3 26-11-2020 18:06:06

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 835

Re : Separable

Laulau a écrit :

Bonjour,

Je me permets d'écrire mes avancements pour ceux que cela intéresse !

Pour [tex]car(K)= 0[/tex] ,
On suppose [tex]pgcd(P,P') = \left\{1,P \right\}[/tex]
[tex]pgcd(P,P') = \prod_{i=1}^r {P_i^{\alpha_i-1}}[/tex]

[tex]pgcd (P,P') =1[/tex] alors [tex]\prod_{i=1}^r {P_i^{\alpha_i-1}}= 1 \alpha_i-1 = 0[/tex] pour tout [tex]i \in  \left\{1,...,r \right\}[/tex] donc [tex]\alpha_i=1[/tex] mais ici je suis pas certaine de la justification.... D'où [tex]P= \prod_{i=1}^r {P_i}[/tex]

Je pense qu'ici, ce n'est qu'une question de degré... Le degré de $P_i^{\alpha_i-1}$ est $(\alpha_i-1)\deg(P_i)$ si $\alpha_i-1\neq 0$.

[tex]pgcd(P,P')= P = pgcd(P,0)[/tex] donc [tex]P'=0[/tex] donc P est de degré 1 c'est à dire [tex]\alpha_i=1[/tex] pour tout [tex]i \in  \left\{1,...,r \right\}[/tex]
Donc P est séparable

Ton implication $pgcd(P,P')=pgcd(P,0)\implies P'=0$ me semble un peu rapide. En général, ce n'est pas parce que $pgcd(P,Q)=pgcd(P,R)$ que $Q=R$. Mais si $P'\neq 0$, alors on sait que le degré du pgcd de $P$ et de $P'$ sera inférieur ou égal à $P'$, et donc ne pourra pas être $P$?!?

Réciproquement, supposons P séparable alors [tex]P = \prod_{i=1}^r {P_i}[/tex]
Si [tex]P' = 0[/tex] alors [tex]pgcd(P,P')=pgcd(0,P)=P[/tex]
Si [tex]P' \neq 0[/tex] alors [tex]pgcd(P,P')= \prod_{i=1}^r {P_i^{1-1}}=1[/tex]
Donc [tex]pgcd{P,P'}=\left\{1,P \right\}[/tex]

Mais j'ai un doute avec ce raisonnement, en caractéristique nulle, [tex]P'[/tex] peut-il être égal à [tex]0[/tex] ?

Oui, mais seulement si $P$ est un polynôme constant....
Et en caractéristique $p$??? Je pense que tu dois partir à peu près de la même façon!

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#4 26-11-2020 18:52:58

Laulau
Membre
Inscription : 12-05-2020
Messages : 16

Re : Separable

Bonsoir et merci de votre réponse Fred

Fred a écrit :

Je pense qu'ici, ce n'est qu'une question de degré... Le degré de $P_i^{\alpha_i-1}$ est $(\alpha_i-1)\deg(P_i)$ si $\alpha_i-1\neq 0$.

Je ne sais pas si je comprends bien vos explications. Vous voulez dire que [tex]\prod_{i=0}^d {P_i^{\alpha_i - 1}} = 1[/tex] si le degré de $P_i^{\alpha_i-1}$ est $(\alpha_i-1)\deg(P_i)$ si $\alpha_i-1\neq 0$
Mais je ne vois pas du coup pourquoi tous les [tex]\alpha_i[/tex] seraient égales à 1...

Ton implication $pgcd(P,P')=pgcd(P,0)\implies P'=0$ me semble un peu rapide. En général, ce n'est pas parce que $pgcd(P,Q)=pgcd(P,R)$ que $Q=R$. Mais si $P'\neq 0$, alors on sait que le degré du pgcd de $P$ et de $P'$ sera inférieur ou égal à $P'$, et donc ne pourra pas être $P$?!?


Donc bien sur dans le cas où $P'= 0$ alors $deg pgcd(P,P') = deg (P) = deg(P') = 0$
Mais si  $P'\neq 0$, alors  $deg pgcd(P,P') \leq deg(P') < deg(P) $
Donc  $pgcd (P',P)= P$ si $pgcd (0,P)$ donc $P'=0$ donc P est un polynôme constant mais comment alors en déduire que P est séparable ?

Oui, mais seulement si $P$ est un polynôme constant....
Et en caractéristique $p$??? Je pense que tu dois partir à peu près de la même façon!

Ah oui donc peut être partir de "soit $P$ un polynôme constant donc $P'=0$

Maintenant si $car(K)=p>0$

$pgcd(P',P) = 1$ implique que $\prod_{i=0}^r P_i ^{\beta_i} = 1$ donc $\beta_i=0$ donc $\alpha_i-1 = 0$ donc $\alpha_i =1$ (donc P séparable) ou $\alpha_i=0$ alors $P=1$ d'où $P'=0$

$pgcd(P',P) = P$
$P'\neq 0$, alors  $deg pgcd(P,P') \leq deg(P') < deg(P) $
Alors $pgcd(P',P) = P = pgcd(0,P)$ alors $P'=0 $
Donc si $pgcd(P',P)=\left\{1,P \right\}$ alors $P$ est séparable ou $P'=0$

Réciproquement,
$P$ est séparable ou $P'=0$
Si $P$ est séparable et $P' \neq 0$ alors $P = \prod_{i=0}^r P_i $
Alors $pgcd(P,P')= \prod_{i=0}^r P_i ^{1-1}=1$

Si $P'=0$ alors $pgcd(P',P) = pgcd(P,0)=P$
Donc $pgcd(P',P=) = \left\{1,P \right\}$

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#5 26-11-2020 20:21:12

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 835

Re : Separable

Laulau a écrit :

Bonsoir et merci de votre réponse Fred


Je ne sais pas si je comprends bien vos explications. Vous voulez dire que [tex]\prod_{i=0}^d {P_i^{\alpha_i - 1}} = 1[/tex] si le degré de $P_i^{\alpha_i-1}$ est $(\alpha_i-1)\deg(P_i)$ si $\alpha_i-1\neq 0$
Mais je ne vois pas du coup pourquoi tous les [tex]\alpha_i[/tex] seraient égales à 1...

Ce que je veux dire, c'est que si $\prod_{i=1}^d P_i^{\alpha_i-1}=1$, alors tu dois forcément avoir que le degré de $P_i^{\alpha-i}$ est nul, sinon tu aurais un polynôme de degré au moins égal à 1 à gauche de l'égalité. Et donc, si $P_i^{\alpha_i-1}$ est de degré $0$, alors $\alpha_i-1=0$.

F.

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#6 26-11-2020 20:31:50

Laulau
Membre
Inscription : 12-05-2020
Messages : 16

Re : Separable

Ah oui voilà j'ai compris.

Et donc quand $car(K)=0$ et $pgcd(P',P)=P$ alors on explique comme vous me l'avez expliqué que nécessairement $P'=0$ mais du coup cela veut dire que $P=a$ (a une constante) mais je n'ai pas prouvé dans ce cas que $P$ est séparable ...

Up --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

J'ai réfléchi et je trouve qu'il y a quelque chose de contradictoire

soit $pgcd(P',P)=P$

Si P est non constant donc $P' \neq 0$  alors $deg pgcd(P',P) \leq deg(P') < deg(P)$
Mais du coup $pgcd(P',P)$ ne pourra pas être égale à P

Donc pour que $pgcd(P',P)=P$ il faut nécessairement que $P'=0$ donc $P$ constant

Mais alors la question c'est est-ce qu'un polynôme constant (non nul) est séparable ?

Dernière modification par Laulau (27-11-2020 10:32:45)

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