Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 25-11-2020 04:42:48

Mouss
Membre
Inscription : 23-04-2020
Messages : 44

convexité

Bonjour,

Pouvez vous m'eclairer.

Doit on utiliser cette propriété :
f convexe sur I ssi f' strictement croissante sur I ssi f''(X) strictement positive sur I

Ou celle ci :

f convexe sur I ssi f' croissante sur I ssi f''(X) positive sur I

Autre question si une fonction n'est pas convexe est elle forcément concave ?

Merci

Hors ligne

#2 25-11-2020 07:14:07

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 835

Re : convexité

Bonjour,

C'est clairement la deuxième formulation qui est vraie (sinon, il faudrait parler de stricte convexité).
Par exemple, une fonction affine est à la fois convexe et concave.

F.

Hors ligne

#3 25-11-2020 12:43:55

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 451

Re : convexité

Mouss a écrit :

Bonjour,

Pouvez vous m'éclairer.

Autre question si une fonction n'est pas convexe est elle forcément concave ?

Merci

Salut,

je complète Fred : si, sur un intervalle donné, la fonction n'est pas convexe, elle n'est pas nécessairement concave non plus. Il faut le démontrer autrement que par contraposition !
Et comme dit Fred, il existe des fonctions qui sont et concave, et convexe !

Dernière modification par freddy (25-11-2020 12:55:14)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#4 25-11-2020 13:11:18

Mouss
Membre
Inscription : 23-04-2020
Messages : 44

Re : convexité

Du coup il existe 3 types de courbes ?
- convexe
-concave
- convexe et concave à la fois c'est le cas uniquement des fictions affinés et constante ?
Merci d'avance pour votre reponse

Hors ligne

#5 25-11-2020 13:45:59

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 451

Re : convexité

Mouss a écrit :

Du coup il existe 3 types de courbes ?
- convexe
-concave
- convexe et concave à la fois c'est le cas uniquement des fictions affinés et constante ?
Merci d'avance pour votre reponse

Attention, tout dépend de l’intervalle considéré : la fonction peut être ni concave ni convexe !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#6 25-11-2020 14:44:02

Mouss
Membre
Inscription : 23-04-2020
Messages : 44

Re : convexité

Pouvez vous me donner un exemple de fonction ni convexe ni concave s'il vous plaît pour mieux visualiser

Hors ligne

#7 25-11-2020 16:10:57

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 451

Re : convexité

Mouss a écrit :

Pouvez vous me donner un exemple de fonction ni convexe ni concave s'il vous plaît pour mieux visualiser

Tu peux regarder les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle de longueur d'au moins $2\pi$, ou bien une polynôme de degré impair sur un intervalle qui inclut au moins un changement de concavité, ou bien la fonction logistique ou bien le quotient de deux polynômes de degrés différents. Je dis cela de mémoire, si quelqu'un veut compléter ...

Souvent, ce sont ces points d'inflexion (changement de concavité = une dérivée seconde qui s'annule) qui sont l'objet de toutes les attentions. Navigue un peu sur la toile, tu en trouveras.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#8 25-11-2020 21:03:19

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 835

Re : convexité

Re-

  Un autre exemple très facile, la fonction $x^3$, si on la considère sur $\mathbb R$ tout entier.

F.

Hors ligne

#9 26-11-2020 03:49:43

Mouss
Membre
Inscription : 23-04-2020
Messages : 44

Re : convexité

Merci pour votre aide !! C'est clair

J'ai encore deux petitesquestions
1. Est ce que graphiquement il est possible de distinguer une fonction convexe au sens large (je veux dire par là si sa dérivée seconde est positive et s'annule en certains points) d'une fonction strictement convexe ?

2. Sachant qune fonction constante est croissante et décroissante a la fois peut on dire qu'elle est monotone ou non ?

Hors ligne

#10 26-11-2020 09:03:51

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 451

Re : convexité

Salut,

autre exemple : on compose une fonction concave (la fonction homographique) avec une fonction convexe ($e^x$) et on obtient un truc du genre $h(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x+2}$ qui n'est ni concave, ni convexe.

Pour tes deux autres questions, je te laisse aux bons soins de Fred !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#11 26-11-2020 09:29:56

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 835

Re : convexité

Mouss a écrit :

Merci pour votre aide !! C'est clair

J'ai encore deux petitesquestions
1. Est ce que graphiquement il est possible de distinguer une fonction convexe au sens large (je veux dire par là si sa dérivée seconde est positive et s'annule en certains points) d'une fonction strictement convexe ?

Si une fonction est convexe et non strictement convexe, sa courbe représentative comportera au moins un segment.

2. Sachant qune fonction constante est croissante et décroissante a la fois peut on dire qu'elle est monotone ou non ?

Oui!

Hors ligne

#12 26-11-2020 11:20:15

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 1 093

Re : convexité

Bonjour,
en relisant ce dernier post de Fred, ne peut on pas remplacer l'expression "non strictement convexe" par "concave" ? dans ce cas sa courbe représentative serait celle d'une fonction affine.. ou alors il faudrait préciser  : si une fonction est convexe et non strictement convexe sur au moins un intervalle, alors sa courbe représentative comporte au moins un segment..

Dernière modification par Zebulor (26-11-2020 13:58:45)

Hors ligne

#13 26-11-2020 14:53:08

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 835

Re : convexité

Re-

  Pour moi, strictement convexe signifie que si tu prends deux points de la courbe représentative, la corde est strictement au-dessus de la courbe représentative, sauf en ces deux points. Donc, si tu es convexe et non strictement convexe, la corde et la courbe de $f$ vont coincider sur un intervalle non restreint à un point.

F.

Hors ligne

#14 26-11-2020 15:36:40

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 1 093

Re : convexité

Re,
considérer la corde est une bonne idée.. merci pour cette précision

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
quatre-vingt trois moins vingt six
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums