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#1 25-11-2020 05:42:48

Mouss
Membre
Inscription : 23-04-2020
Messages : 105

convexité

Bonjour,

Pouvez vous m'eclairer.

Doit on utiliser cette propriété :
f convexe sur I ssi f' strictement croissante sur I ssi f''(X) strictement positive sur I

Ou celle ci :

f convexe sur I ssi f' croissante sur I ssi f''(X) positive sur I

Autre question si une fonction n'est pas convexe est elle forcément concave ?

Merci

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#2 25-11-2020 08:14:07

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : convexité

Bonjour,

C'est clairement la deuxième formulation qui est vraie (sinon, il faudrait parler de stricte convexité).
Par exemple, une fonction affine est à la fois convexe et concave.

F.

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#3 25-11-2020 13:43:55

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : convexité

Mouss a écrit :

Bonjour,

Pouvez vous m'éclairer.

Autre question si une fonction n'est pas convexe est elle forcément concave ?

Merci

Salut,

je complète Fred : si, sur un intervalle donné, la fonction n'est pas convexe, elle n'est pas nécessairement concave non plus. Il faut le démontrer autrement que par contraposition !
Et comme dit Fred, il existe des fonctions qui sont et concave, et convexe !

Dernière modification par freddy (25-11-2020 13:55:14)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#4 25-11-2020 14:11:18

Mouss
Membre
Inscription : 23-04-2020
Messages : 105

Re : convexité

Du coup il existe 3 types de courbes ?
- convexe
-concave
- convexe et concave à la fois c'est le cas uniquement des fictions affinés et constante ?
Merci d'avance pour votre reponse

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#5 25-11-2020 14:45:59

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : convexité

Mouss a écrit :

Du coup il existe 3 types de courbes ?
- convexe
-concave
- convexe et concave à la fois c'est le cas uniquement des fictions affinés et constante ?
Merci d'avance pour votre reponse

Attention, tout dépend de l’intervalle considéré : la fonction peut être ni concave ni convexe !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#6 25-11-2020 15:44:02

Mouss
Membre
Inscription : 23-04-2020
Messages : 105

Re : convexité

Pouvez vous me donner un exemple de fonction ni convexe ni concave s'il vous plaît pour mieux visualiser

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#7 25-11-2020 17:10:57

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : convexité

Mouss a écrit :

Pouvez vous me donner un exemple de fonction ni convexe ni concave s'il vous plaît pour mieux visualiser

Tu peux regarder les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle de longueur d'au moins $2\pi$, ou bien une polynôme de degré impair sur un intervalle qui inclut au moins un changement de concavité, ou bien la fonction logistique ou bien le quotient de deux polynômes de degrés différents. Je dis cela de mémoire, si quelqu'un veut compléter ...

Souvent, ce sont ces points d'inflexion (changement de concavité = une dérivée seconde qui s'annule) qui sont l'objet de toutes les attentions. Navigue un peu sur la toile, tu en trouveras.


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#8 25-11-2020 22:03:19

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : convexité

Re-

  Un autre exemple très facile, la fonction $x^3$, si on la considère sur $\mathbb R$ tout entier.

F.

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#9 26-11-2020 04:49:43

Mouss
Membre
Inscription : 23-04-2020
Messages : 105

Re : convexité

Merci pour votre aide !! C'est clair

J'ai encore deux petitesquestions
1. Est ce que graphiquement il est possible de distinguer une fonction convexe au sens large (je veux dire par là si sa dérivée seconde est positive et s'annule en certains points) d'une fonction strictement convexe ?

2. Sachant qune fonction constante est croissante et décroissante a la fois peut on dire qu'elle est monotone ou non ?

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#10 26-11-2020 10:03:51

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : convexité

Salut,

autre exemple : on compose une fonction concave (la fonction homographique) avec une fonction convexe ($e^x$) et on obtient un truc du genre $h(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x+2}$ qui n'est ni concave, ni convexe.

Pour tes deux autres questions, je te laisse aux bons soins de Fred !


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#11 26-11-2020 10:29:56

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : convexité

Mouss a écrit :

Merci pour votre aide !! C'est clair

J'ai encore deux petitesquestions
1. Est ce que graphiquement il est possible de distinguer une fonction convexe au sens large (je veux dire par là si sa dérivée seconde est positive et s'annule en certains points) d'une fonction strictement convexe ?

Si une fonction est convexe et non strictement convexe, sa courbe représentative comportera au moins un segment.

2. Sachant qune fonction constante est croissante et décroissante a la fois peut on dire qu'elle est monotone ou non ?

Oui!

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#12 26-11-2020 12:20:15

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 072

Re : convexité

Bonjour,
en relisant ce dernier post de Fred, ne peut on pas remplacer l'expression "non strictement convexe" par "concave" ? dans ce cas sa courbe représentative serait celle d'une fonction affine.. ou alors il faudrait préciser  : si une fonction est convexe et non strictement convexe sur au moins un intervalle, alors sa courbe représentative comporte au moins un segment..

Dernière modification par Zebulor (26-11-2020 14:58:45)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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#13 26-11-2020 15:53:08

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : convexité

Re-

  Pour moi, strictement convexe signifie que si tu prends deux points de la courbe représentative, la corde est strictement au-dessus de la courbe représentative, sauf en ces deux points. Donc, si tu es convexe et non strictement convexe, la corde et la courbe de $f$ vont coincider sur un intervalle non restreint à un point.

F.

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#14 26-11-2020 16:36:40

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 072

Re : convexité

Re,
considérer la corde est une bonne idée.. merci pour cette précision


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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