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#1 18-11-2020 23:02:05

Esther
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Microéconomie - monopole discriminant

Bonsoir, j'ai essayé de faire l'exercice suivant (trouvé en ligne) mais j'ai de gros doutes quant à mes réponses...

On considère une entreprise en situation de monopole sur le marché international. Sa fonction de coût total s'écrit : CT(Q) = 50 + 10Q

Cette entreprise peut segmenter son marché en deux parties cloisonnées : États-Unis (e) et Reste du Monde (r). On suppose que chaque marché est caractérisé par une forme de demande spécifique :

[tex]\begin{cases}
P_e=15-3Q_e \\
P_r=150-6Q_r
\end{cases}[/tex]

Questions :

1- Calculer la demande agrégée Q sur le marché mondial.

[tex]15-3Q=150-6Q \Leftrightarrow 3Q=135 \Leftrightarrow Q=45[/tex]
La demande agrégée est de [tex]Q=45[/tex].

2- Calculer l'offre optimale de l'entreprise en dehors de toute discrimination entre les consommateurs.

On a : [tex]\begin{cases}
Q_e=5-\frac{1}{3}P_e \\
Q_r=25-\frac{1}{6}P_r
\end{cases}[/tex]  et [tex]CT(Q)=50+10Q[/tex]

Donc : [tex]\begin{cases}
q=q_e+q_r=30-\frac{1}{2}p \Rightarrow p=60-2q\textbf{ si }p<15 \\
q=25-\frac{1}{6}p \Rightarrow p=150-6q\textbf{ si }p\geq15
\end{cases}[/tex]

[tex]Rm=Cm[/tex]

[tex]RT(q)=p(q)q=(60-2q)q=60q-2q^2[/tex]
[tex]Rm(q)=60-4q[/tex]
[tex]Cm(q)=10[/tex]

[tex]60-4q=10 \Leftrightarrow q*=12,5[/tex] et [tex]p*=60-2(12,5)=35[/tex]

[tex]35>15[/tex], par conséquent :
[tex]RT(q)=(150-6q)q=150q-6q^2[/tex]
[tex]Rm(q)=150-6q[/tex]

Équilibre : [tex]150-6q=10 \Leftrightarrow q*=\frac{70}{3}[/tex]

3- En déduire le prix international et le profit du monopole.

[tex]p*=150-6(\frac{70}{3})=10[/tex]

[tex]π(q)=p*q*-CT(q*)=10(\frac{70}{3})-50-10(\frac{70}{3})=-50[/tex]

4- En supposant que l'entreprise puisse pratiquer un prix différent sur chaque marché, calculer le prix et la quantité optimale à écouler sur chaque marché.

[tex]Cm_e(q)=Cm_r(q)=10[/tex]

[tex]RT_e(q)=(15-3q_e)q_e=15q_e-3q_e^2[/tex]
[tex]Rm_e(q)=15-6q_e[/tex]

[tex]RT_r(q)=(150-6q_r)q_r=150q_r-6q_r^2[/tex]
[tex]Rm_r(q)=150-12q_r[/tex]

[tex]Cm_e=Rm_e \Leftrightarrow 10=15-6q_e \Leftrightarrow q_e*=\frac{5}{6}[/tex]
Donc [tex]p_e*=15-3(\frac{5}{6})=12,5[/tex]

[tex]Cm_r=Rm_r \Leftrightarrow 10=150-12q_r \Leftrightarrow q_r*=\frac{35}{3}[/tex]
Donc [tex]p_r*=150-6(\frac{35}{3})=80[/tex]

5- En déduire le profit total du monopole discriminant.

[tex]π(Q)=p_eq_e+p_rq_r-CT(Q)=12,5(\frac{5}{6})+80(\frac{35}{3})-50-10(\frac{5}{6}+\frac{35}{3})=768,75[/tex]

Merci !

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#2 19-11-2020 10:39:39

freddy
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Re : Microéconomie - monopole discriminant

Salut,

c'est faux dès la première question, je ne sais pas si tu comprends bien le sujet.

La demande agrégée internationale est la somme $Q_e + Q_r$, ni plus, ni moins. Le calcul que tu fais est assez curieux.
Donc tu réécris les fonctions de demande sur les deux marchés dans le sens Qté demandée fonction du prix et tu redémarres !
Le demande globale sera donc fonction des deux prix différenciés selon le marché.

Dernière modification par freddy (19-11-2020 12:34:42)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#3 19-11-2020 10:51:26

freddy
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Re : Microéconomie - monopole discriminant

Re,

donc, pour répondre à la question 2, tu fais l'hypothèse que $P_e=P_r$.

Remarque : tu t'engages sur un terrain hasardeux, as tu appris comment on maximise une fonction à deux variables, sais-tu ce qu'est un hessien ?

Remarque bis : j'ai peur que le sujet contienne une jolie coquille qui fait que je trouve une quantité négative. Peut -être que il faut lire 75 à la place de 15. C'est un sujet de Dauphine, mais l'erreur n'est pas exclue.

Dernière modification par freddy (19-11-2020 11:37:31)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#4 19-11-2020 13:10:52

Esther
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Re : Microéconomie - monopole discriminant

Bonjour et merci pour vos réponses ! Avec les cours à distance c'est un peu compliqué pour moi de suivre les cours correctement et on n'a pas de support papier, donc j'essaie de me débrouiller... je dois avouer que c'est un peu difficile en microéconomie car il n'y a pas beaucoup de ressources en ligne (cours, corrigés, etc.).

1-
[tex]\begin{cases}
Q_e=5-\frac{1}{3}P_e \\
Q_r=25-\frac{1}{6}P_r
\end{cases}[/tex]  = [tex]Q(P_e,P_r)=30-\frac{1}{3}P_e-\frac{1}{6}P_r[/tex]

Par contre je ne sais ni maximiser une fonction à deux variables, ni ce qu'est un hessien... j'ai un exercice de TD du même genre à faire et il est précisé "pour simplifier les calculs, on supposera qu'elles ont le même prix de réserve" - peut-être que c'est pour ça ?

Dernière modification par Esther (20-11-2020 12:13:13)

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#5 19-11-2020 14:37:27

freddy
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Re : Microéconomie - monopole discriminant

Esther a écrit :

Bonjour et merci pour vos réponses ! Avec les cours à distance c'est un peu compliqué pour moi de suivre les cours correctement et on n'a pas de support papier, donc j'essaie de me débrouiller seule... je dois avouer que c'est un peu difficile en microéconomie car il n'y a pas beaucoup de ressources en ligne (cours, corrigés, etc.).

1-
[tex]\begin{cases}
Q_e=5-\frac{1}{3}P_e \\
Q_r=25-\frac{1}{6}P_r
\end{cases}[/tex]  = [tex]Q(P_e,P_r)=30-\frac{1}{3}P_e-\frac{1}{6}P_r[/tex]

Par contre je ne sais ni maximiser une fonction à deux variables, ni ce qu'est un hessien... j'ai un exercice de TD du même genre à faire et il est précisé "pour simplifier les calculs, on supposera qu'elles ont le même prix de réserve" - peut-être que c'est pour ça ?

Non, le hessien est le déterminant de la matrice hessienne : dérivées partielles du second ordre.
Pour la quantité globale, OK. Continue !


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#6 19-11-2020 16:39:07

Esther
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Re : Microéconomie - monopole discriminant

Merci ! S'il eût été marqué "pour simplifier les calculs, on supposera qu'elles ont le même prix de réserve" dans cette question, aurait-il fallu que je confonde [tex]P_e[/tex] et [tex]P_r[/tex] ou ça n'a rien à voir ?

Pour la question suivante par contre je ne vois pas comment procéder autrement que comme j'ai fait...

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#7 19-11-2020 18:11:55

freddy
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Re : Microéconomie - monopole discriminant

Esther a écrit :

Merci ! S'il eût été marqué "pour simplifier les calculs, on supposera qu'elles ont le même prix de réserve" dans cette question, aurait-il fallu que je confonde [tex]P_e[/tex] et [tex]P_r[/tex] ou ça n'a rien à voir ?

Pour la question suivante par contre je ne vois pas comment procéder autrement que comme j'ai fait...

J'ai déjà répondu à cette question, il faut poser $P_e=P_r=P$ et faire les calculs avec le couple$(P,Q)$ sans oublier qu'en situation de monopole, le monopoleur fixe le prix de marché qui lui convient, et la demande s'ajuste.

Pour la question suivante, tu formalise le profit du monopoleur en tenant des deux prix distincts.

Dernière modification par freddy (19-11-2020 18:12:17)


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#8 19-11-2020 20:23:09

Esther
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Re : Microéconomie - monopole discriminant

D'accord merci, j'ai réessayé :

On pose [tex]P_e=P_r=P[/tex].

On a [tex]q(p)=30-\frac{1}{2}p \Leftrightarrow p(q)=60-2q[/tex]

[tex]RT(q)=60q-2q^2[/tex]

[tex]Rm(q)=60-4q[/tex]

[tex]π(q)=-2q^2-50q-50[/tex]

Condition de 1er ordre : [tex]\frac{δπ}{δq}=0 \Leftrightarrow q^M=-12,5[/tex]

Condition de 2nd ordre : [tex]\frac{δ^2π}{δ^2q}<0 \Leftrightarrow -4<0[/tex] OK

3) On a [tex]p(q)=60-2q[/tex] donc [tex]p(q^M)=85[/tex]

[tex]π(q^M)=-2(12,5)^2-50(-12,5)-50=262,5[/tex]

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#9 20-11-2020 12:21:19

Esther
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Re : Microéconomie - monopole discriminant

Pourquoi c'est faux ?

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#10 20-11-2020 12:29:40

freddy
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Re : Microéconomie - monopole discriminant

Esther a écrit :

Pourquoi c'est faux ?

Pose $P=10$ et regarde si les deux expressions sont équivalentes, comme tu le soutiens (à tort) !

PS : Oups, pardon, p et q se confondent, donc c'est OK, je vire ma remarque qui montre que je ne sais pas lire !

Donc, il faut que tu exprimes le profit en fonction de P, pas de Q, puisque le monopoleur fixe son prix, et déduit la quantité produite ! En situation de concurrence PP, le prix s'impose à tout le monde, le producteur ne maîtrise que la quantité offerte.

On a : $\pi(P)=P.Q-50-10Q = …$ continue !

Dernière modification par freddy (20-11-2020 12:54:20)


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#11 20-11-2020 12:35:41

Esther
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Re : Microéconomie - monopole discriminant

[tex]q(p)=30-12p \rightarrow p(q)=60-2q[/tex]

C'est mieux ?

freddy a écrit :

PS : Oups, pardon, p et q se confondent, donc c'est OK, je vire ma remarque qui montre que je ne sais pas lire !

OK ! Ce que j'ai fait est correct du coup ?

Dernière modification par Esther (20-11-2020 12:37:45)

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#12 20-11-2020 12:43:48

freddy
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Re : Microéconomie - monopole discriminant

Re,

On a donc : $\pi(P)=P.Q-50-10Q = P(30-P/2)-50-10(30-P/2) $ que tu maximises par rapport à P !

Dernière modification par freddy (20-11-2020 12:47:16)


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#13 20-11-2020 12:57:37

Esther
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Re : Microéconomie - monopole discriminant

[tex]π(p)=-\frac{1}{2}p^2+35p-350[/tex] ?

Dernière modification par Esther (20-11-2020 12:58:05)

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#14 20-11-2020 14:40:44

freddy
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Re : Microéconomie - monopole discriminant

Esther a écrit :

[tex]π(p)=-\frac{1}{2}p^2+35p-350[/tex] ?

On est d’accord et donc Q = ?


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#15 20-11-2020 17:06:58

Esther
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Re : Microéconomie - monopole discriminant

Je m'étais trompée pour les valeurs de [tex]q^M[/tex] et [tex]p^M[/tex] donc j'ai recommencé, en espérant que ce soit bon cette fois :

[tex]P_e=P_r=p[/tex]

[tex]RT(q)=60q-2q^2[/tex]

[tex]CT(q)=50+10q[/tex]

[tex]π(q)=RT(q)-CT(q)=-2q^2+50q-50[/tex]

CPO : [tex]π'(q)=0 \Leftrightarrow q^M=12,5[/tex] (et non [tex]-12,5[/tex])

CSO : [tex]π^{(2)}(q)<0 \Leftrightarrow -4<0[/tex]

Donc [tex]p^M(q^M)=60-25=35[/tex]

Ce qui donne [tex]π(q^M)=-2(12,5)^2+50(12,5)-50=262,5[/tex]

(ou [tex]π(p^M)=-\frac{1}{2}(35)^2+35^2-350=262,5[/tex] mais ça revient au même donc je vois pas trop l'intérêt ?)

Dernière modification par Esther (20-11-2020 17:07:58)

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#16 20-11-2020 17:22:11

freddy
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Re : Microéconomie - monopole discriminant

Re,

au plan méthodologie, il faut d'abord trouver le $P^*$, puis on déduit le $Q^*$ et le profit car, je le répète, le monopoleur maîtrise le marché et va donc les fixer en fonction de ses seuls intérêts. Ce n'est pas la même démarché en concurrence ou le prix est une donnée "extérieure". La, on cherche le prix d'équilibre du marché, nul ne peut le fixer trop "petit" !

Maintenant, tu étudies le cas du monopole discriminant en distinguant bien les deux prix et les deux quantités mais attention, il n'y a qu'une seule fonction de profit qui permet de fixer les deux prix !

Remarque : intégrer la fonction de demande, quelle que soit le sens de la relation entre $P$ et $Q$, est la manière de montrer que le monopoleur intègre bien la demande. C'est la raison pour laquelle les résultats sont identiques.

Dernière modification par freddy (20-11-2020 20:07:04)


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#17 21-11-2020 18:56:17

freddy
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Re : Microéconomie - monopole discriminant

Salut,

pour la suite de l'exo, tu vas avoir besoin de ce résultat.
Bon courage !


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#18 Hier 13:00:52

freddy
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Re : Microéconomie - monopole discriminant

Salut,

je vois que tu as disparu.

Tu dois maintenant maximiser par rapport aux couples de prix la fonction profit qui s'écrit :
$$\pi(P_e,P_r) = P_eQ_e + P_rQ_r - 50-10(Q_e+Q_r)$$
Tu calcules les prix optimaux (et tu t'assures qu'il le sont), puis tu déduits les quantités optimales. Ensuite, tu compares avec les résultats d'un monopole non discriminant et tu comprends mieux les stratégies des monopoles internationaux qui s'adaptent au plus près de leurs marchés §

Dernière modification par freddy (Hier 15:09:19)


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