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#1 24-11-2020 17:46:50

Free13
Membre
Inscription : 18-09-2020
Messages : 32

Egalité de multiplication de vecteurs par une même matrice

Bonsoir à tous !!

Je suis face à un QCM dans mon livre d'exercices que je ne comprends pas du tout.

Je précise, A est la matrice, AT sa transposée,  x, y, b et c sont des vecteurs

// Soit A une matrice quelqueconque mxn telle que m <n ALors il est TOUJOURS vrai que

a) Ax = Ac a une infinité de solutions pour tout choix de c dans Rn

b) (AT)y = 0 a une unique solution

c) Ax = Ac a une unique solution pour tout choix de c encore dans Rn

d) Ax = b a au moins une solution pour tout choix de b dans Rm


Je ne comprends pas du tout cette question ...
Merci d'avance pour votre aide

F

Hors ligne

#2 24-11-2020 20:18:26

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 835

Re : Egalité de multiplication de vecteurs par une même matrice

Bonjour,

  C'est une question de rang et d'image de matrice.
La matrice $A$ définit une application linéaire de $\mathbb R^n$ dans $\mathbb R^m$.
Puisque $m<n$, tu devrais pouvoir en déduire quelque chose sur son noyau. Or $Ax=Ac$ si et seulement si $x-c$ est dans le noyau de $A$.
Ca devrait pouvoir te permettre de dire qu'une des deux propositions entre (a) et (c) est vraie.
Pour (b) et (d) c'est facile de trouver un contre-exemple (comme souvent, prendre la matrice $A$ la plus facile possible).

F.

Hors ligne

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