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#1 16-11-2020 19:54:36

soupe124
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étude complète d'une fct exponentielle

Bonsoir , pouvez vous svp me fournir  une étude d'une fct exponentielle mais demandant la résolution d'équation et inéquation avec ln , il ne faut pas que ln soit dans l'expression de la fct mais que l'on est besoin par exemple pour e signe de la dériver . Merci d'avance

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#2 16-11-2020 20:37:48

yoshi
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Re : étude complète d'une fct exponentielle

re,

Un truc comme ça ?
Je place 1000 € à 2 % l'an et à intérêts composés, combien d'années au moins me faut-il pour doubler mon capital ?
Mais ça ma paraît un peu simplet...
Nan, puisque tu veux une dérivée.
Lorsque tu parles d'exponentielle tu veux dire $e$ ($e\approx 2.718281828459045$) ?
Si c'est ça je chercherai demain matin .

@+


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#3 16-11-2020 20:47:23

soupe124
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Re : étude complète d'une fct exponentielle

Non quand je parle d'exponentielle je parle de e^ux avec ux une fct quelconque . il peut aussi y'avoir d'autre fct genre par exemple x^2 + e^2x

Dernière modification par soupe124 (16-11-2020 22:02:40)

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#4 17-11-2020 08:06:19

yoshi
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Re : étude complète d'une fct exponentielle

Bonjour,

Mise en bouche :
Lycée Des Arènes, Toulouse
25 min.

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel r par : $f(x)= 4\dfrac{1-e^x}{1+e^x}$.
On note $\mathcal C$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal $(O,\vec i,\vec j$) .
1) Etudier les limites de f en $+\infty$ puis en $-\infty$ et interpréter graphiquement les résultats obtenus.
2) Former le tableau des variations de $f$
3) Trouver une équation de la tangente $(\mathcal T)$ àla courbe $(\mathcal C)$ au point d'abscisse nulle.
4) Démontrer que $f$ est une fonction impaire.
5) Construire $(\mathcal C)$ et $(\mathcal T)$ dans le repère $(O,\vec i,\vec j)$.


Lycée des Loges, Evry
l5 min.

Soit la fonction $f(x)= \dfrac{e^x-2}{e^x+1}$.
1) Déterminer son domaine de définition.
2) Calculer les limites aux bornes de son domaine de définition.
3) Calculer sa dérivée.
4) Dresser son tableau de variations et tracer son graphe.

@+


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#5 17-11-2020 14:56:05

yoshi
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Re : étude complète d'une fct exponentielle

RE,

et le plat de résistance...
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par :
$$\begin{cases}f(x)&=\dfrac{xe^x}{e^x -1} \quad\text{si } x\neq 0\\f(0)=1\end{cases}$$
On note $\mathcal C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O;\vec i;\vec j)$.
1.
    a) Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$
    b) Établir que pour tout nombre réel $x$ non nul, on a $f(x)=x\left(1+\dfrac {1}{e^x-1}\right)$
        En déduire la limite de $f$ en  $+\infty$
2. Donner sans démontrer la limite de $\dfrac{x}{e^x-1}$ quand $x$ tend vers 0 et démontrer que f est continue en 0.
3.
    a) Démontrer que pour tout nombre réel $x$, on a $e^x \geqslant x+1$ et que l'égalité  n'a lieu que pour $x=0$.
    b) Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et déterminer la fonction $g$ telle que pour tout nombre réel $x$ non nul :
                                                $f'(x)=\dfrac{e^x g(x)}{(e^x-1)^2}$
    c) Donner le tableau de variations de $f$
4. Soient $x$ un nombre réel non nul et les points $M(x;f(x))$ et $M'(-x;f(-x))$ de la courbe $\mathcal C$.
    a) Établir que $f(-x)=\dfrac{x}{e^x-1}$ puis déterminer le coefficient directeur de la droite $(MM')$.
    b) On admet que la fonction $f$ est dérivable en 0. Que suggère alors le résultat précédent ?

@+


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#6 18-11-2020 13:54:00

soupe124
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Re : étude complète d'une fct exponentielle

Bonjour pour l'exercice 1 on doit bien trouver que f est une fct décroissante sur l'ensemble des nombres réel? et l'équation de T est bien y=-x ?
Pour l'ex 2 la fct est croissante sur R prive de 1?
Pour l'ex 3 on a bien gx =e^x - xfois e^x -1 ? et pourla question 4 je suis bloquer

Dernière modification par soupe124 (18-11-2020 14:10:14)

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#7 18-11-2020 15:26:53

yoshi
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Re : étude complète d'une fct exponentielle

Bonjour,

Exercice 1
1. Qu'as-tu trouvé pour les limites en $+\infty$ et $-\infty$ et pourquoi ?
    Interprétation géométrique de tes résultats ?
2. Oui, la fonction est décroissante sur $\mathbb R$
Mais tu ne peux pas répondre sans calcul de la dérivée : tu n'est censé avoir le graphique sous le nez qu'à la 4e question. Et ce graphique t'aurait permis de constater que ta dérivée est probablement fausse puisque l'équation de ta tangente est, elle, fausse (c'est une certitude).

Prenons les choses dans l'ordre...

Exercice 2 
1. Tu dis que $\mathcal D_f =\mathbb R \setminus \{1\}$ ? Non, c'est faux...
2. Où sont les limites demandées ?
3. Où est la dérivée ?
4. Oui, la fonction est croissante mais donne le tableau de variations.

Même sur forum, tu ne peux (et ne dois) pas te contenter d'être aussi elliptique. J'ai passé une bonne heure à mettre ces exos en forme pour que, toi, tu expédies les réponses en envoyant un télégramme...

@+


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#8 18-11-2020 15:56:34

soupe124
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Re : étude complète d'une fct exponentielle

Désole alors pour l'exercice 1
1) la limite en +infini est -4 tandis qu'en -infini c'est 4 donc il y'as une asymptote horizontale en 4 et en -4
2) j'ai calculer la dériver je trouve -5e^x/( e^x+1)^2 décroissante sur R.
3) une équation de tangente s'écrit f'(a) facteur de (x-a)+ f(a) ici a=0 on obtient donc comme équation -1,5x=y
4) Non puisque f(-x) n'est pas égal à -f(x)

Pour l'exercice 2 on as
1) domaine de définition R puisque e^x supérieur ou égal à 0 pour tout x appartenant à R
2) en -infini par opération la limite est -2 et en + infini c'est 1
3) la dériver est égal à 3e^x/( e^x+1)^2
4) donc la fct est croissante sur R puisque f'x est positive sur R

Pour l'exercice 3
1) la limite par opération est +infini
b) suffit de développer et réduire
2)la limite par opération est +infini
3) On étudie le signe de la fct e^x -x-1, la dériver est e^x-1 donc décroissante sur -infini à 0 et croissante sur R+, le minimum sur R est 0 donc cette fct est positive sur R et l'égalité est donc démontrer.
b) on trouve  gx =e^x - xfois e^x -1
c) f'x est positive puisque gx est la fct étudier plus haut donc f croissante sur R
4) pas réussi
b) j'ai penser que l'on pouvait parler de la continuité en 0

Dernière modification par soupe124 (18-11-2020 16:14:22)

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#9 21-11-2020 17:34:21

yoshi
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Re : étude complète d'une fct exponentielle

Re,

J'avais répondu, mais j'ai dû oublier de poster, je recommence...
Exercice 1
2) Dérivée fausse
3) Equation de la tangente fausse
4) L'énoncé te dit  de montrer que la fonction $f$ est impaire et toi tu réponds que ce n'est pas vrai ?
    On peut voir ce que tu as fait ?

Exercice 2
Ok

Exercice 3
1) a) Oui. (cours)
    b) Oui. Mais saurais-tu partir de la définition de la fonction pour aboutir à la forme demandée ?
    Limite exacte
2) Limite ? Si ta réponse est $+\infty$, c'est faux. Comment as-tu montré la continuité ?
3) a)

la dérivée est e^x-1 donc décroissante sur -infini à 0 et croissante sur R+

      Comment le prouves-tu ?
    b) $g(x) = ?$ Petite erreur...
4. a) As-tu prouvé que $f(-x)=\dfrac{x}{e^x-1}$ ? Si oui, comment ? Sinon, fais-le !
        As-tu calculé le coefficient directeur de (MM') ? Si oui, qu'as-tu trouvé ? Sinon, fais le !
    b) On t'a d'abord demandé de montrer que f est continue en 0, avant cela on avait posé f(0)=1
        Si j'appelle J le point de coordonnées (0 ; 1), ce point est donc sur la courbe.
        De plus, on admet que cette fonction est dérivable en 0, donc f'(0) existe..
        Alors ?
        J'appelle m le coefficient directeur précédent. Pense au rapport entre f'(0) et m...
        Que se passe-t-il si x décrit $\mathbb R^+$ ?

@+


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#10 24-11-2020 15:04:57

soupe124
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Re : étude complète d'une fct exponentielle

Bonjour désole j'avais pas vu la réponse alors
pour la dérivé de l'exo 1 je trouve en la refaisant -5e^x/( e^x+1)^2
pour la fct impaire j'avais fais une erreur de calcul mais oui elle est bien impaire
Pour l'exo 3
la limite est 0 et pas plus infinie , pour la continuité j'ai montrer que la limite  0+ est égal à celle en 0-, pour la dériver j'ai utiliser les propriétés de l'exponentielle et la propriété qui dis que la dériver d'une somme de fct est la somme de ses dériver
Je n'ai pas fait la 4a je bloque je comprends pas pourquoi

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