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#1 14-11-2020 09:53:51

eidôlon01
Invité

Exercices math

Je tente une reprise d'étude à 29 ans, mon gros problème ce sont les maths (oui j'avais 2/20 de moyenne en math au lycée) et donc je m'y mets pour la première fois de ma vie, désolée d'avance pour les questions les plus bêtes ...

Je tente de reprendre les bases avec les identités remarquables, voici un exemple d'exercice dont je ne comprends pas la réponse :


On me demande de factoriser A=(x^2-9)^2-(x+3)^2 (je ne sais pas comment faire les carrés sur le clavier), l'une des méthodes suggérées est la suivante :

A= [(x-3)(x+3)]^2-(x+3)^2
A=(x+3)^2[(x-3)^2-1]  Ma question est comment on arrive à cette étape avec -1 ? Quel a été le raisonnement ? Car pour moi ce n'est pas du tout intuitif ...
A= (x+3)^2[(x-3-1)(x-3+1)
A= (x+3)^2(x-4)(x-2)

Par ailleurs, petite question si jamais il y a des enseignants en math, est-ce que la logique mathématique s'apprend ? J'ai souvent l'impression que les bons en math font ça de manière intuitive, est-ce qu'en faisant des problèmes tous les jours ça pourrait rentrer dans ma petite tête ? ^^

#2 14-11-2020 10:15:19

Romaiys
Membre
Inscription : 16-12-2019
Messages : 16

Re : Exercices math

Bonjour,

Il s'agit juste ici d'une factorisation par le terme commun :
Pour la première étape: on a factorisé x^2 - 9 à l'aide de ses deux racines évidentes 3 et -3.
Pour la deuxième on a juste factorisé par (x+3)^2 !
Et ensuite c'est juste l'utilisation de cette simple identité remarquable : a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

Pour ta question concernant la logique mathématique, il n'y pas de mystère il faut en manger pour que ça rentre comme on dit !
En tout cas, c'est tout à ton honneur.. bonne continuation !

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#3 14-11-2020 11:07:45

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 432

Re : Exercices math

Salut,

tu as en effet quelques bases à réactiver. Je te propose de te procurer un livre de maths niveau troisième (seconde ?) et reprendre pas à pas. Je pense que yoshi pourrait utilement te conseiller.
La logique en maths est souvent simple (c'est logique !) mais surprenante quelquefois : l'évidence se cache derrière de pseudo complications qui nous freinent, c'est à ce moment-à qu'il faut travailler pour pas se laisser embarquer.

Pour toi, il faut absolument que tu revois les identités remarquables (carré d'une somme, différence de deux carrés, ...) que tu ne peux pas inventer puis les développements et mise en facteurs communs d'expression polynomiales, ce sont des techniques à connaitre.

Bon courage pour la suite !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#4 14-11-2020 11:20:36

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 226

Re : Exercices math

Bonjour,

Je me joins aux félicitations et aux encouragements  : travailler seul ou par correspondance n'est pas une sinécure...
Mais ne dit-on pas : A cœur vaillant, rien d'impossible...
Commence déjà par jeter un œil sur les bases, ici :
http://www.bibmath.net/ressources/index … lege/index
D'autre part j'ai encore tous mes cours exercices, Devoirs et interros diverses...
Si un point n'est pas clair pour toi, et pour toute info complémentaire non visible sur le lien, tu n'auras qu'à demander.

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#5 20-11-2020 11:22:35

eidôlon01
Invité

Re : Exercices math

Bonjour,

Merci pour vos réponses et encouragements (je suis preneuse :D), en revanche ce que je ne comprends pas dans la réponse c'est le -1, d'où vient-il ? (x+3)^2[(x-3)^2-1] Je n'ai clairement pas un bon sens de la logique, du coup tous les détails sont nécessaires : /

Ce qui m'aide à comprendre les identités remarquables, c'est finalement la démonstration géométrique et ensuite les exercices je vais regarder cela, ce site est vraiment bien fait !

#6 20-11-2020 12:54:10

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 226

Re : Exercices math

Bonjour,

$[(x-3)(x+3)]^2-(x+3)^2=(x-3)^2(x+3)^2-(x+3)^2$
Jusque là, c'est bon ?
Ensuite, retour aux sources : là, on un facteur commun, le $(x+3)^2$, il est de part et d'autre du -...
Alors oublions un instant la puissance 2...
Cette factorisation est, à la base, de la forme  ab-a...
C'est quelque chose qui choque beaucoup d'élèves et qu'ils oublient souvent.
Ce facteur commun est a, donc il a été distribué de part de d'autre du - .
A gauche du - : sur b, puisque ab est l'écriture simplifiée de $a \times b$.

Donc
$ab-a=$ $a$$\times b\, -\,$$a$
Mais à droite du -?? parce que le a en facteur on le met tout au début, on ouvre une parenthèse (ou un crochet s'il y en a déjà),  on met un doigt  sur le a de gauche un doigt sur le a de droite et dans la parenthèse on met ce qui reste...

Et la réaction qui ne se fait pas attendre est :
mais ???... à droite du - il n'y a plus rien ? Je ne vais quand même pas écrire un - tout seul sans rien ...

Non...
Parce que là c'est une histoire de multiplication, pas d'addition... Et "rien" dans la multiplication, ce n'est pas la même chose que dans l'addition...
D'abord au niveau des opérations, "rien" c'est pourtant quelque chose,  :
2 + rien dans l'addition, c'est 2 + 0, alors 2 x rien dans la multiplication, ce n"est pas 0, mais 1 :
2 + 0 = 2 et 2 x 1 = 2
$a\times b - a = a(b - ?)$
Il faut bien quelque chose à la place du ?
Quoi ? Tu dois déjà t'en douter ! c'est 1 parce que a = a x 1  et on a : $a\times b - a = a(b - 1)$
Petite vérification ?
Si je passe la "marche arrière" et que je développe $a(b - 1)$, j'écris : $a\times b - a\times 1= a\times b - a =ab-a$
Ne rien écrire dans la parenthèse aurait été, en fait, écrire 0 et $a$ x $0 =0$ et je ne retournais pas au point de départ...

C'est beaucoup moins piégeux si je demande de factoriser $ab-2a$ (difficile d'oublier le 2 : on le voit !) :
$ab-2a =a\times b - a \times  2= a(b-2)$.
Et $a^2b^2-a^2$ c'est la même problématique :
$a^2b^2-a^2=a^2\times b^2 - a^2 \times 1= a^2(b^2-1)$
Et on peut continuer...
Encore ce 1 !!!
Il ne faut pas oublier que $1=1^2$   et $b^2-1=b^2 -1^2$ et on reconnaît une différence de 2 carrés : $b^2-1^2= (b+1)(b-1)$.
La factorisation complète de $a^2b^2-a^2$ est donc :
$a^2(b^2-1)=a^2(b+1)(b-1)$

Revenons à nos moutons :
$(x-3)^2(x+3)^2-(x+3)^2=(x-3)^2\times (x+3)^2-(x+3)^2\,\times\,$$1$
Ce qui se factorise en mettant $(x+3)^2$ en facteur commun, on arrive à $(x+3)^2\left[(x-3)^2\,-1\right]$

Voilà pour le 1 qui te perturbait...

Compris ?

@+


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#7 20-11-2020 13:39:23

48PierrelePetit
Membre
Inscription : 17-09-2020
Messages : 78

Re : Exercices math

Bonjour à toutes et tous
Je comprends ton désarroi car il est toujours difficile de donner une réponse simple à une question simple (simple uniquement en apparence).
Si A=(x^2-9)^2-(x+3)^2, l'identité remarquable à utiliser est a^2 - b^2 = (a + b)*(a - b) (pas toujours évident si on ne l'a pas rencontrée plusieurs fois)
Il faut ensuite remarquer que 9=3^2, donc x^2 - 9 = (x + 3)*(x - 3) (Application de l'identité remarquable  a^2-b^2 = (a + b)*(a - b) et il faut connaître la table des carrés)
Donc A = (x - 3)*(x - 3)*(x + 3)*(x + 3) - (x + 3)*(x + 3)
ET ALORS ARRIVE LE -1 après utilisation de la factorisation par (x + 3)*(x + 3)
A = (x + 3)*(x + 3)*(( x*x - 6*x + 9) -1)
Ce qui ce conçoit bien s'énonce clairement et les mots pour le dire vous viennent aisément.
Il n'existe pas de mauvais élèves et les professeurs ne sont pas tous formés pour expliquer à tout élève!
Persiste dans tes efforts et il n'est pas nécessaire d'espérer pour entreprendre ni de réussir pour persévérer (Guillaume d'Orange)

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#8 20-11-2020 15:13:27

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 432

Re : Exercices math

48PierrelePetit a écrit :

Bonjour à toutes et tous
Je comprends ton désarroi car il est toujours difficile de donner une réponse simple à une question simple (simple uniquement en apparence).
Si A=(x^2-9)^2-(x+3)^2, l'identité remarquable à utiliser est a^2 - b^2 = (a + b)*(a - b) (pas toujours évident si on ne l'a pas rencontrée plusieurs fois)
Il faut ensuite remarquer que 9=3^2, donc x^2 - 9 = (x + 3)*(x - 3) (Application de l'identité remarquable  a^2-b^2 = (a + b)*(a - b) et il faut connaître la table des carrés)
Donc A = (x - 3)*(x - 3)*(x + 3)*(x + 3) - (x + 3)*(x + 3)
ET ALORS ARRIVE LE -1 après utilisation de la factorisation par (x + 3)*(x + 3)
A = (x + 3)*(x + 3)*(( x*x - 6*x + 9) -1)
Ce qui ce conçoit bien s'énonce clairement et les mots pour le dire vous viennent aisément.
Il n'existe pas de mauvais élèves et les professeurs ne sont pas tous formés pour expliquer à tout élève!
Persiste dans tes efforts et il n'est pas nécessaire d'espérer pour entreprendre ni de (réussir) vaincre pour persévérer (Guillaume d'Orange)

Si tu pouvais utiliser Latex, je pense que ça rendrait grand service à notre amie, merci !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#9 23-11-2020 10:22:32

eidôlon01
Invité

Re : Exercices math

Un grand merci, c'est très clair du coup, Yoshi j'ai beaucoup apprécié le détail du pourquoi le chiffre 1 et que 48PierrelePetit a complété, effectivement c'est très logique après explication, j'ai confirmé en représentant géométriquement (ça m'aide vraiment). J'aurai sûrement de nombreuses autres questions par la suite :)

#10 23-11-2020 11:17:44

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 226

Re : Exercices math

Re,

Pas de pb...
Après relecture pour vérifier, je me suis aperçu que je pensais l'avoir dit, mais non...
Revenons à $1a$ qu'on écrit a :
En 5e/4e quand on commence à jouer avec les nombres relatifs et les expressions littérales, on introduit un certain nombre de simplifications d'écriture ...
Ainsi :
$a\times b$ s'écrit $ab$
Tant qu'il y a des lettres pas de souci, mais entre deux nombres, il doit toujours y avoir un signe ou un symbole opératoire...
Sinon $2 \times 3$ devient 23 par ex
Si un nombre positif est le 1er caractère d'une ligne ou d'une expression, on n'écrit pas ce +...
Pourquoi ? Parce que si c'est un - on doit l'écrire (et comme il n'y a que deux signes possibles, et si ce n'est pas l'un... c'est l'autre)
$1\times a$ s'écrit $a$ tout autre facteur que 1, doit s'écrire
$a^1$ s'écrit $a$...

Factorisation et développements sont deux procédé réciproques l'un de l'autre...
Si d'ailleurs, on a des développements bien pénibles à faire, il arrive (et les exercices ont été créés pour), je conseillais, quand j'étais encore en activité, de passer par une factorisation intermédiaire, puis de développer l'expression obtenue : on gagne du temps, on limite le nombre de calculs et le nombre d'erreurs potentielles... Il y en a quelques exemples dans les exercices du site.
L'expérience m'a appris que les erreurs se produisaient  plus souvent dans les développements que les factorisations.
Quand un exercice demande la factorisation et le développement d'une expression, on peut contrôler un développement classique (et/ou la factorisation) en développant la forme factorisée...
Si les résultats sont identiques tout va bien, sinon l'un des deux est faux, ensuite il faut chercher qui...

Mais bien sûr, pour en arriver là, il faut maîtriser les factorisations...
Parfois, on les cache, par ex :
$(2x+1)(x-3)+3-x = (2x+1)(x-3)-(x-3) =(x-3)(2x+1-1)=2x(x-3)$
Il y a d'autre façons de cacher un facteur commun, allez encore une pour la route ;
$4(2x+1)^2 -(9x-3)^2 =[2(2x+1)]^2 -[3(3x-1)]^2$ et là, on voit mieux la différence de deux carrés...

Je m'arrête là...

@+


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