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#1 22-11-2020 18:49:37
- Lilly
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Espace vectoriel
Salut
J'ai cet question
Soit E un espace vectoriel et A un sous espace vectoriel de E
Est ce que A+A=2A
La réponse normalement est non mais j'ai besoin d'indication pour la démonstration
En fait j'ai commencé par
A+A={a+a / a ∈ A}
Merci.
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#2 22-11-2020 20:36:14
- valoukanga
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Re : Espace vectoriel
Bonjour,
C'est un bon début. Maintenant, que vaut $a+a$ ?
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#4 22-11-2020 22:32:07
- valoukanga
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Re : Espace vectoriel
Oui $a+a = 2a$, ce n'était pas très dur !
Du coup : $A+A = \{2a / a \in A\}$. Que peux-tu dire maintenant ? (indice utiliser les axiomes d'un espace vectoriel).
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#6 23-11-2020 22:12:53
- valoukanga
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Re : Espace vectoriel
Oui exactement ! $A+A = A$ puisque $A+A = \{2a/a \in A\} = \{a/a \in A\}$ en multipliant par le scalaire 1/2. En effet : soit $x \in E$. On a : $x \in A+A \Leftrightarrow \exists a \in A, x = 2a \Leftrightarrow \exists 2a \in A, x = 2a \Leftrightarrow \exists a \in A, x = a$. On utilise bien le fait que $A$ est un sev de $E$. De même, $2A = A$, donc $A+A = 2A = A$ !
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#8 24-11-2020 11:21:58
- valoukanga
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Re : Espace vectoriel
Oui en effet, c'est une propriété propre aux espaces vectoriels !
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