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#1 21-11-2020 15:13:29

chloe4559
Membre
Inscription : 21-11-2020
Messages : 4

Aide DM algèbre 2ème année de licence de maths

Bonjour,

je viens vers vous aujourd'hui car je bloque vraiment sur un DM d'algèbre. En effet, je suis bloquée depuis plus d'une semaine....

J'ai un énoncé qui me dit

Soit E un espace vectoriel de dimension n, et φ : E-> E un endomorphisme de E.
1. Montrer que
φ2 = 0 équivalent Im φ C ker φ.
2. On suppose que φ2 = 0.
(a) Déterminer l’ensemble des valeurs propres de φ .
(b) On suppose que φ est diagonalisable. Déterminer φ.
3. On suppose dorénavant que φ2 = 0, et que φ n’est pas diagonalisable.
(a) Montrer que rg(φ) <= n/2. À quelle condition a-t-on Imφ = ker φ ?
(b) Soit F un supplémentaire de ker φ, et (e1, . . . , ep) une base de F.
i. Montrer que (e1, . . . , ep, φ(e1), . . . , φ(ep)) est une famille libre.
ii. Compléter cette famille en une base de E, à l’aide de vecteurs de ker φ (on
précisera bien comment l’on choisit ces vecteurs).
iii. Écrire la matrice de φ dans cette base.

J'ai réussi à trouvé que soit φ admet soit 0 comme valeur propre soit φ n'admet pas de valeur propre.
Dans ce cas, comme on a A=PDP-1 avec D matrice diagonale où les coefficients diagonaux sont les valeurs propres de φ alors D c'est la matrice nulle. Ainsi PDP-1 vaut aussi la matrice nulle et de fait A vaut également la matrice nulle.

Je voulais déjà savoir si ce raisonnement était correct.

Ensuite pour la question 3:
J'ai réussi la question 3)a)
J'ai dit que comme on sait que (e1, . . . , ep) est une base de F en particulier c'est une famille libre et par définition  (e1, . . . , ep) est libre si λ1e1+...+λpep=0 implique que λ1=...=λp=0

d'ou φ(λ1e1+...+λpep)= λ1φ(e1)+...+ λpφ(ep)
car φ est linéaire.
D'où λ1φ(e1)+...+ λpφ(ep)=0 équivalent à λ1=...=λp=0
C'es le seul moyen que j'ai trouvé pour montrer que la famille (φ(e1), . . . , φ(ep)) est libre.
Je suis pas sûre que ce soit juste en revanche.
Evidemment les questions d'après je suis encore plus perdue...
Parce que en soit je pourrais faire la question 3b)ii) sans avoir prouvé la question précédente mais je n'y arrive pas du tout...

Est ce que vous pouvez me dire si ce que j'ai fait c'est pas mal où si je suis complètement à côté de la plaque et éventuellement me donner quelques pistes le cas échéant...

Merci d'avance,
Cordialement

Hors ligne

#2 21-11-2020 21:27:27

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 920

Re : Aide DM algèbre 2ème année de licence de maths

Bonsoir,

Quelques indications :

chloe4559 a écrit :

2. On suppose que φ2 = 0.
(a) Déterminer l’ensemble des valeurs propres de φ.
(...)
J'ai réussi à trouvé que soit φ admet soit 0 comme valeur propre soit φ n'admet pas de valeur propre.

En fait, $\varphi$ admet toujours $0$ comme valeur propre.
En effet, tu as montré (d'après ce que je comprends) que si il y a une valeur propre alors c'est nécessairement $0$.
Mais tu peux aussi montrer que $0$ est toujours une valeur propre :
- Soit $\varphi=0$ et dans ce cas, $0$ est évidemment une valeur propre ;
- Soit $\varphi\neq 0$ et donc $Im(\varphi) \neq \{0\}$, et d'après la première question $Ker(\varphi) \neq \{0\}$, ce qui signifie qu'il existe un vecteur propre (non nul) associé à $0$.

chloe4559 a écrit :

(b) On suppose que φ est diagonalisable. Déterminer φ.
(...)
Dans ce cas, comme on a A=PDP-1 avec D matrice diagonale où les coefficients diagonaux sont les valeurs propres de φ alors D c'est la matrice nulle. Ainsi PDP-1 vaut aussi la matrice nulle et de fait A vaut également la matrice nulle.

Je pense que c'est correct mais tu n'es pas obligé de passer par des matrices : si $\varphi$ est diagonalisable, il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres. Puisque $0$ est la seule valeur propre possible, pour tout élément $e$ de cette base tu auras $\varphi(e)=0$, donc $\varphi =0$.

chloe4559 a écrit :

3. On suppose dorénavant que φ2 = 0, et que φ n’est pas diagonalisable.
(a) Montrer que rg(φ) <= n/2. À quelle condition a-t-on Imφ = ker φ ?
(...)
J'ai réussi la question 3)a)

J'imagine que tu as évoqué le théorème du rang...

chloe4559 a écrit :

3. On suppose dorénavant que φ2 = 0, et que φ n’est pas diagonalisable.
(b) Soit F un supplémentaire de ker φ, et (e1, . . . , ep) une base de F.
i. Montrer que (e1, . . . , ep, φ(e1), . . . , φ(ep)) est une famille libre.
(...)
C'es le seul moyen que j'ai trouvé pour montrer que la famille (φ(e1), . . . , φ(ep)) est libre.

Sauf que la question est de montrer que $(e_1, . . . , e_p, \varphi(e_1), . . . , \varphi(e_p))$ est une famille libre.
Pour ma part, je reviendrais à la définition d'une famille libre :
Si $a_1e_1 + \cdots + a_pe_p + a_{p+1}\varphi(e_1) + \cdots  + a_{2p}\varphi(e_p) = 0$ alors ... tu peux composer par $\varphi$, utiliser la linéarité de $\varphi$, et en déduire que $a_1e_1 + \cdots + a_pe_p \in Ker \varphi \cap F = \{0\}$. Tu obtiendras alors que les $p$ premiers coefficients $a_i$ sont nuls. Tu refais la même chose pour $a_{p+1}\varphi(e_1) + \cdots  + a_{2p}\varphi(e_p) = 0$ (linéarité...).

chloe4559 a écrit :

3. On suppose dorénavant que φ2 = 0, et que φ n’est pas diagonalisable.
(b) Soit F un supplémentaire de ker φ, et (e1, . . . , ep) une base de F.
ii. Compléter cette famille en une base de E, à l’aide de vecteurs de ker φ (on
précisera bien comment l’on choisit ces vecteurs).
iii. Écrire la matrice de φ dans cette base.
(...)
Evidemment les questions d'après je suis encore plus perdue...

Il doit falloir compléter la famille avec des vecteurs qui sont dans $Ker \varphi \setminus Im \varphi$.
La dernière question est "facile" car il faut juste exprimer la matrice de $\varphi$ dans une base très particulière, et tu as tout fait avant pour que ce soit simple !

Roro.

Dernière modification par Roro (22-11-2020 06:48:06)

Hors ligne

#3 22-11-2020 09:32:20

chloe4559
Membre
Inscription : 21-11-2020
Messages : 4

Re : Aide DM algèbre 2ème année de licence de maths

Roro a écrit :

Bonsoir,

Quelques indications :

En fait, $\varphi$ admet toujours $0$ comme valeur propre.
En effet, tu as montré (d'après ce que je comprends) que si il y a une valeur propre alors c'est nécessairement $0$.
Mais tu peux aussi montrer que $0$ est toujours une valeur propre :
- Soit $\varphi=0$ et dans ce cas, $0$ est évidemment une valeur propre ;
- Soit $\varphi\neq 0$ et donc $Im(\varphi) \neq \{0\}$, et d'après la première question $Ker(\varphi) \neq \{0\}$, ce qui signifie qu'il existe un vecteur propre (non nul) associé à $0$.

Ok pour ça c'est bon je suis d'accord. J'avais aussi fait la démonstration pour dire que 0 est bien valeur propre de \varphi

Roro a écrit :

Je pense que c'est correct mais tu n'es pas obligé de passer par des matrices : si $\varphi$ est diagonalisable, il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres. Puisque $0$ est la seule valeur propre possible, pour tout élément $e$ de cette base tu auras $\varphi(e)=0$, donc $\varphi =0$.

Ah d'accord, je n'avais pas vu les choses comme ça merci!


Roro a écrit :

J'imagine que tu as évoqué le théorème du rang...

oui exactement.

Roro a écrit :

Sauf que la question est de montrer que $(e_1, . . . , e_p, \varphi(e_1), . . . , \varphi(e_p))$ est une famille libre.
Pour ma part, je reviendrais à la définition d'une famille libre :
Si $a_1e_1 + \cdots + a_pe_p + a_{p+1}\varphi(e_1) + \cdots  + a_{2p}\varphi(e_p) = 0$ alors ... tu peux composer par $\varphi$, utiliser la linéarité de $\varphi$, et en déduire que $a_1e_1 + \cdots + a_pe_p \in Ker \varphi \cap F = \{0\}$. Tu obtiendras alors que les $p$ premiers coefficients $a_i$ sont nuls. Tu refais la même chose pour $a_{p+1}\varphi(e_1) + \cdots  + a_{2p}\varphi(e_p) = 0$ (linéarité...).

Ok je vais essayer de reprendre ça alors.

Roro a écrit :

Il doit falloir compléter la famille avec des vecteurs qui sont dans $Ker \varphi \setminus Im \varphi$.
La dernière question est "facile" car il faut juste exprimer la matrice de $\varphi$ dans une base très particulière, et tu as tout fait avant pour que ce soit simple !

Je ne comprends pas pourquoi il faut que les vecteurs ne soient pas dans $Im \varphi$ ?
J'ai pensé à quelque chose comme dire que comme F est $Ker \varphi$ sont supplémentaires et que
(e1,...ep) est une base de F et posons P=base de $Ker \varphi$ alors une base de E=B c'est l'union de F et de P
En particulier je dois compléter la famille libre $(\varphi(e1),...,\varphi(ep))$ pour trouver une base.
Il faut donc que je regarde la dimension de $Ker \varphi$ et que je complète la famille libre avec autant de vecteurs qu'il faut pour que la famille libre ait la même dimension que $Ker \varphi$

En tout cas merci beaucoup pour votre aide ! C'est super sympa !!

Hors ligne

#4 22-11-2020 10:35:00

Roro
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Messages : 920

Re : Aide DM algèbre 2ème année de licence de maths

Bonjour,

chloe4559 a écrit :

Je ne comprends pas pourquoi il faut que les vecteurs ne soient pas dans $Im \varphi$ ?

Si tu regardes bien, tu peux t'apercevoir que $p$ est exactement le rang de $\varphi$ (puisque $\mathrm{dim} F + \mathrm{dim} Ker \varphi = n$). Autrement dit, la famille $\{ \varphi(e_1),\cdots, \varphi(e_p)\}$ est une base de $Im \varphi$.

Roro.

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#5 22-11-2020 12:23:37

chloe4559
Membre
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Messages : 4

Re : Aide DM algèbre 2ème année de licence de maths

D'accord merci !

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#6 22-11-2020 13:46:59

chloe4559
Membre
Inscription : 21-11-2020
Messages : 4

Re : Aide DM algèbre 2ème année de licence de maths

J'ai que (e1,...,ep) est une famille libre cela signifie qu'il existe des λi tels que :
λ1e1+...λpep=0 si et seulement si λ1=...=λp=0

d'autre part dire que (phi(e1),...,phi(ep)) est une famille libre c'est dire que

λ1phi(e1)+...+λpphi(ep)=0 et il faut montrer que λ1=...=λp=0

Comme phi est linéaire, on peut dire que λ1phi(e1)+...+λpphi(ep)=0  est équivalent à

phi(λ1e1)+...+phi(λpep)=0 équivalent à
phi(λ1e1+...λpep)=0

et λ1e1+...λpep par définition de ker phi

et là je suis douteuse sur quelques trucs. Je sens que je suis proche du but !

déjà est ce que je peux dire que si e1,...,ep appartient à F alors λ1e1+...λpep appartient à F ?

Hors ligne

#7 22-11-2020 19:40:33

Roro
Membre expert
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Messages : 920

Re : Aide DM algèbre 2ème année de licence de maths

chloe4559 a écrit :

déjà est ce que je peux dire que si e1,...,ep appartient à F alors λ1e1+...λpep appartient à F ?

Oui, c'est la "définition" d'un espace vectoriel !

Mais attention, dans ce que tu fais tu dois démontrer que la famille $\{e_1,\cdots, e_p,\varphi(e_1),\cdots,\varphi(e_p)\}$ est libre, ce qui n'est pas équivalent à démontrer que les deux familles $\{e_1,\cdots, e_p\}$ et $\{\varphi(e_1),\cdots,\varphi(e_p)\}$ sont libres.

Roro.

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