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#1 20-11-2020 03:08:06

Amadeus
Invité

Trouver l'image de [tex]u\otimes v[/tex]

Bonjour a tous, voici un petit problème laissé sans correction avec lequel j'ai quelques petit problème.

Soit [tex]u \in \mathcal L(E,G)[/tex] et [tex]v \in \mathcal L(F,H)[/tex] ( Tel que [tex]\mathcal L(E,G)[/tex] est l'ensemble des fonctions linéaires  [tex]E \rightarrow G[/tex]) .

Question : Montrer que l'image [tex]u\otimes v \in \mathcal L(E\otimes F,G\otimes H)[/tex] et est [tex]f(E) \otimes g(F)[/tex]

Voici mes idées :

J'ai trouvé dans mes notes de cours une proposition qui stipule que : [tex]\mathcal L(E,G) \otimes \mathcal L(F,H) \simeq \mathcal L(E\otimes F,G\otimes H)[/tex]

Mais cela est il suffisant pour montrer que l'image de [tex]u\otimes v[/tex] appartient donc bien a [tex] \mathcal L(E\otimes F,G\otimes H)[/tex] ?

Cependant je n'arrive pas a trouver comment montrer que l'image est bien [tex]f(E) \otimes g(F)[/tex].

Toute aide est la bienvenue et je vous remercie d'avance.

#2 20-11-2020 07:16:16

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 742

Re : Trouver l'image de [tex]u\otimes v[/tex]

Amadeus a écrit :

Question : Montrer que l'image [tex]u\otimes v \in \mathcal L(E\otimes F,G\otimes H)[/tex] et est [tex]f(E) \otimes g(F)[/tex]

Si on ne sait pas ce que sont $f$ et $g$, cela va être difficile....

Mais cela est il suffisant pour montrer que l'image de [tex]u\otimes v[/tex] appartient donc bien a [tex] \mathcal L(E\otimes F,G\otimes H)[/tex] ?

Cette phrase ne veut rien dire. Tu peux écrire que $u\times v$ appartient à $ \mathcal L(E\otimes F,G\otimes H) $ puisque $u\otimes v$ est une application linéaire. Mais son image est une partie de $G\otimes G$, pas un élement de $ \mathcal L(E\otimes F,G\otimes H) $

F.

Hors ligne

#3 20-11-2020 08:26:13

Amadeus
Invité

Re : Trouver l'image de [tex]u\otimes v[/tex]

Tels sont les donnés de l'exercice , peut être qu'il s'agit d'une erreur. Si l'on remplace par [tex]u(E)\otimes v(F)[/tex] cela fait il plus de sens ?

Pour la deuxieme partie je ne vois pas comment c'est l'image de [tex]u \times v[/tex]  qui appartient a [tex] \mathcal L(E\otimes F,G\otimes H) [/tex] ?

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