Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 19-11-2020 14:11:54

skywalker27
Membre
Inscription : 27-04-2020
Messages : 3

Démonstration de la loi binomiale (par récurrence ?)

Bonjour à tous,

Je suis actuellement en Terminale (spécialités Maths, Physique-Chimie, et option Maths expertes).

Actuellement, en spé, on travaille sur la loi binomiale. Dans le cours, ma prof a démontré la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui suit la loi binomiale grâce aux notions de listes et de combinaisons, qui faisaient l'objet du chapitre précédent.

Mais pourrait-on démontrer cette loi de probabilité par récurrence ?

Je vous transmets ci-dessous :

           1) L'énonce de la propriété du cours.
           2) La démonstration du cours.
           3) Ma tentative de démonstration par récurrence.

1) On a préalablement défini une épreuve de Bernoulli, une variable aléatoire, et une loi binomiale.

Propriété : lors de la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, $p$ étant la probabilité du succès sur une épreuve, la probabilité d'obtenir $k$ succès est :

[tex] P(X=k) = \binom{n}{k} \times p^{k} \times (1-p)^{n-k} [/tex]

2) Démonstration du cours :

$k$ compris entre 0 et $n$.
- Sur $n$ épreuves, pour obtenir exactement $k$ succès, on dénombre $k$ succès et $n-k$ échecs. La probabilité d'une seule issue correspondant à $k$ succès est donc égale à : $p^{k}(1-p)^{n-k}$.
- Le nombre d'issues menant à $k$ succès est égal au nombre de parties de $k$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments : $\binom{n}{k}$
- L'événement $(X=k)$ est la réunion de toutes les issues menant à exactement $k$ succès, donc :

[tex] P(X=k) = \binom{n}{k} \times p^{k} \times (1-p)^{n-k} [/tex]

3) Démonstration par récurrence (non aboutie) :

Montrons par récurrence que pour tout $n$ entier naturel non nul (i.e. quel que soit le nombre d'épreuves) la propriété est vraie.

Initialisation : si $n=1$, il n'y a qu'une épreuve, donc deux issues : succès ($k=1$) ou échec ($k=0$).

La probabilité du succès est : [tex]P(X=1) = p [/tex]
La probabilité de l'échec est : [tex]P(X=0) = q [/tex]

Or : [tex] \binom{1}{1} \times p^{1} \times (1-p)^{1-1} = p = P(X=1) [/tex]
et : [tex] \binom{1}{0} \times p^{0} \times (1-p)^{1-0} = 1-p = P(X=0) [/tex]

La propriété est vérifiée pour $n=1$.

Hérédité : Par souci de clarté, on notera $P(X=k)_n$ pour la probabilité d'obtenir $k$ succès pour $n$ épreuves, et $P(X=k)_{n+1}$ pour $n+1$ épreuves.

Supposons la propriété vraie pour un entier naturel $n$ non nul.

Montrons que pour $(n+1)$ épreuves, [tex] P(X=k)_{n+1} = \binom{n+1}{k} \times p^{k} \times (1-p)^{n+1-k} [/tex]

$n+1$ épreuves signifie qu'il y a une issue de plus par rapport à $n$ épreuves.

Je distingue donc deux cas.

1er cas : la $(n+1)$-ième épreuve est un succès.

[tex] P(X=k)_{n+1} = P(X=k)_{n} + (P(X=k-1)_n \times p) [/tex] (à visualiser avec les chemins de l'arbre)
[tex] P(X=k)_{n+1} = \binom{n}{k} \times p^{k} \times (1-p)^{n-k} + \binom{n}{k-1} \times p^{k-1} \times (1-p)^{n-(k-1)} \times p [/tex]
[tex] P(X=k)_{n+1} = \binom{n}{k} \times p^{k} \times (1-p)^{n-k} + \binom{n}{k-1} \times p^{k} \times (1-p)^{n+1-k} [/tex]
[tex] P(X=k)_{n+1} = p^{k} \times [\binom{n}{k}\times (1-p)^{n-k} + \binom{n}{k-1} \times (1-p)^{n+1-k}] [/tex]
(Je suis bloqué sur ce calcul.)

2nd cas : la $(n+1)$-ième épreuve est un échec. (Je suis bloqué ici aussi.)

Merci d'avance pour votre aide.

Dernière modification par skywalker27 (19-11-2020 19:54:12)

Hors ligne

#2 19-11-2020 14:54:36

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 432

Re : Démonstration de la loi binomiale (par récurrence ?)

Salut,

j'ai le sentiment que tu te compliques inutilement l'existence.

On part de l'épreuve de Bernoulli, puis on répète $n$ fois cette épreuve. On suppose les tirages indépendants, de paramètre constant $p$. On fabrique la va X = nombre de succès. On veut calculer la proba que X = k avec $0 \le k \le n$.

Tu as donc à chercher le nombre de combinaisons telles qu'il y a exactement $k$ succès et donc $n-k$ échecs.
La proba d'obtenir $k$ succès est égale à $p^k$ et d'obtenir $n-k$ échecs est $(1-p)^{n-k}$.
Donc la proba d'une combinaison contenant $k$ succès est donnée par  $p^k(1-p)^{n-k}$.
Si je tiens compte de toutes les combinaisons possibles pour avoir $k$ succès parmi $n$ tirages, soit $\binom{n}{k}$, la proba cherchée est  $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.

Pas besoin d'aller plus loin, c'est assez simple.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#3 19-11-2020 16:01:22

skywalker27
Membre
Inscription : 27-04-2020
Messages : 3

Re : Démonstration de la loi binomiale (par récurrence ?)

Bonjour Freddy,

Et oui, je sais bien que je me complique "inutilement" l'existence.

J'ai bien compris que ta preuve est plus efficace, c'est d'ailleurs celle qui figure dans mon cours.

Mais j'ai un raisonnement différent, et ça me frustre de ne pas pouvoir aller jusqu'au bout de mon idée :(

Hors ligne

#4 19-11-2020 19:52:24

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 742

Re : Démonstration de la loi binomiale (par récurrence ?)

Bonjour,

  On peut y arriver par récurrence en utilisant la formule du triangle de Pascal : $\binom{n+1}k=\binom nk+\binom{n}{k-1}$.
Précisément, je ne fais que l'étape d'hérédite, et je note $X=\varepsilon_1+\dots+\varepsilon_{n+1}$ une variable aléatoire somme de $n+1$ variables aléatoires de Bernoulli indépendantes. Je vais aussi noter $Y=\varepsilon_1+\dots+\varepsilon_n$.

Par hypothèse de récurrence, je sais que $P(Y=k)=\binom nk p^k (1-p)^{n-k}$.

Pour calculer $P(X=k)$, introduisons l'événement $A="\varepsilon_{n+1}=1"$ (autrement dit, la $n+1$-ième épreuve est un succès).
Alors on a
$$(X=k)= ( (A\cap (Y=k-1) )\cup (\bar A\cap (Y=k)).$$
Autrement dit, pour avoir $k$ succès après $n+1$ expériences, ou bien la dernière épreuve est un succès, et parmi les $n$ précédents il y a $k-1$ succès, ou bien la dernière épreuve est un échec, et parmi les $n$ précédents il y a $k$ succès.

On peut donc écrire (en utilisant que les expériences de Bernoulli sont indépendantes) :
\begin{align*}
P(X=k)&= P(A)P(Y=k-1)+P(\bar A)P(Y=k)\\
&=p \times \binom{n}{k-1} p^{k-1}(1-p)^{n-(k-1)}+(1-p)\times \binom {n}k p^k (1-p)^{n-k}\\
&=\left(\binom{n}{k-1}+\binom{n}k\right)p^k (1-p)^{n+1-k}\\
&=\binom{n}{k+1} p^k (1-p)^{n+1-k}.
\end{align*}

F.

Hors ligne

#5 19-11-2020 20:19:32

skywalker27
Membre
Inscription : 27-04-2020
Messages : 3

Re : Démonstration de la loi binomiale (par récurrence ?)

Bonsoir,

Merci beaucoup Fred pour cette solution.

Je n'avais pas eu l'idée d'introduire deux variables aléatoires, c'est astucieux. Et avec ma distinction de cas, je n'aurais jamais trouvé, vu que je calculais séparément les deux probabilités au lieu de les additioner.

En tout cas, j'espère qu'un jour j'aurai un niveau suffisant pour le faire seul. 

skywalker27

Hors ligne

#6 19-11-2020 21:57:14

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 742

Re : Démonstration de la loi binomiale (par récurrence ?)

skywalker27 a écrit :

En tout cas, j'espère qu'un jour j'aurai un niveau suffisant pour le faire seul.

Ca a l'air bien parti! Je ne suis pas sûr que beaucoup d'élèves de Terminale comprennent ce que j'ai écrit, et, plus important, que beaucoup aient ta ténacité et ton envie de comprendre (et produire) des démonstrations.

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
soixante sept plus trente huit
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums