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#1 18-11-2020 12:30:04
- KKLK
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- Messages : 3
Calculer un limite à l'aide de Fourier
Bonjour à tous, je suis coincé sur un exercice et j'ai besoin d'aide pour commencer.
Soient [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex] deux fonctions continues [tex]2\pi[/tex]-périodiques. Je dois démontrer que:
[tex]lim_{n\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(nx)dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx\int_{-\pi}^{\pi}g(x)dx[/tex]
Jusqu'à présent, j'ai seulement remarqué que la limite ressemble beaucoup au lemme de Riemann-Lebesgue mais je ne sais pas si cela peut être utile.
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#2 18-11-2020 14:28:26
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 057
Re : Calculer un limite à l'aide de Fourier
Bonjour,
Tu as bien fait de remarquer que cela ressemble beaucoup au lemme de Riemann-Lebesgue.
Moi, pour faire la preuve, je procèderais de la façon suivante :
* je démontrerais le résultat si $g$ est un polynôme trigonométrique (par linéarité, c'est alors presque exactement le lemme de Riemann-Lebesgue).
* je prouverais ensuite le résultat pour une fonction continue $g$ quelconque en l'approchant par un polynôme trigonométrique.
Je pense par ailleurs qu'il te manque un facteur $1/2\pi$ à gauche.
Par curiosité, dans quel contexte on te pose cet exo?
F.
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