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#1 18-11-2020 10:30:04

KKLK
Membre
Inscription : 06-04-2020
Messages : 3

Calculer un limite à l'aide de Fourier

Bonjour à tous, je suis coincé sur un exercice et j'ai besoin d'aide pour commencer.

Soient [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex] deux fonctions continues [tex]2\pi[/tex]-périodiques. Je dois démontrer que:

[tex]lim_{n\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(nx)dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx\int_{-\pi}^{\pi}g(x)dx[/tex]


Jusqu'à présent, j'ai seulement remarqué que la limite ressemble beaucoup au lemme de Riemann-Lebesgue mais je ne sais pas si cela peut être utile.

Hors ligne

#2 18-11-2020 12:28:26

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 742

Re : Calculer un limite à l'aide de Fourier

Bonjour,

  Tu as bien fait de remarquer que cela ressemble beaucoup au lemme de Riemann-Lebesgue.
Moi, pour faire la preuve, je procèderais de la façon suivante :
* je démontrerais le résultat si $g$ est un polynôme trigonométrique (par linéarité, c'est alors presque exactement le lemme de Riemann-Lebesgue).
* je prouverais ensuite le résultat pour une fonction continue $g$ quelconque en l'approchant par un polynôme trigonométrique.

Je pense par ailleurs qu'il te manque un facteur $1/2\pi$ à gauche.

Par curiosité, dans quel contexte on te pose cet exo?

F.

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#3 19-11-2020 07:37:36

vam
Membre
Inscription : 04-10-2020
Messages : 4

Re : Calculer un limite à l'aide de Fourier

4e site où cette question a été posée par KKLK .... :(

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#4 19-11-2020 08:57:31

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 226

Re : Calculer un limite à l'aide de Fourier

Bonjour,

Merci.
Nous allons prendre des mesures... Ainsi KKLK pourra-t-il vérifier que 100% des perdants ont tenté leur chance !
   
       Yoshi
- Modérateur -


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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