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#1 09-11-2020 15:39:40

pentium mix
Membre
Inscription : 27-10-2020
Messages : 155

algèbre 1

Bonsoir
Svp comment montrer ceci ?




Soit G un groupe, H un sous groupe normal de G inclut dans le centre de G
On suppose G/H monogène
Monter que G est monogène

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#2 09-11-2020 16:42:25

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : algèbre 1

Bonjour,

  Je pense t'avoir déjà expliqué que c'était faux.....

F.

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#3 09-11-2020 17:09:33

pentium mix
Membre
Inscription : 27-10-2020
Messages : 155

Re : algèbre 1

Fred a écrit :

Bonjour,

  Je pense t'avoir déjà expliqué que c'était faux.....

F.


Merci
Je n'avais pas bien compris

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#4 10-11-2020 21:03:18

Romaiys
Membre
Inscription : 16-12-2019
Messages : 22

Re : algèbre 1

On peut cependant montrer le résultat suivant:

Soit G un groupe fini et Z(G) son centre. Si G/Z(G) est cyclique alors G est abélien ! (on notera que G/Z(G) est bien un groupe puisque Z(G) est distingué dans G)

Ce résultat est utilisé dans la démonstration de la proposition suivante: Si G est un groupe d'ordre p^2 avec p premier (c'est en particulier un p-groupe) alors G est abélien.

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#5 17-11-2020 06:30:52

pentium mix
Membre
Inscription : 27-10-2020
Messages : 155

Re : algèbre 1

Romaiys a écrit :

On peut cependant montrer le résultat suivant:

Soit G un groupe fini et Z(G) son centre. Si G/Z(G) est cyclique alors G est abélien ! (on notera que G/Z(G) est bien un groupe puisque Z(G) est distingué dans G)

Ce résultat est utilisé dans la démonstration de la proposition suivante: Si G est un groupe d'ordre p^2 avec p premier (c'est en particulier un p-groupe) alors G est abélien.

Bonjour
Parlant des p-groupe, comment montrer que le centre d'un p-groupe est de cardinal supérieur ou égal a p??

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#6 17-11-2020 10:32:55

Romaiys
Membre
Inscription : 16-12-2019
Messages : 22

Re : algèbre 1

Bonjour,

Si on note G un p-groupe, alors il est de cardinal une puissance de p.
Le centre d'un groupe est un sous-groupe (distingué) du groupe donc en particulier ici on a Z(G) sous-groupe de G donc par le théorème de Lagrange son ordre divise celui de G. Ainsi, le centre est de cardinal une puissance de p ou 1. Or nous avons vu que le centre d'un p-groupe est non trivial donc Z(G) <> {e} donc |Z(G)| <> 1 et donc |Z(G)| >= p ! (<> signifie différent)

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#7 05-02-2021 19:02:12

Songiky
Membre
Inscription : 05-02-2021
Messages : 1

Re : algèbre 1

Bonjour
Comment résoudre ce problème suivant :
Soit G un groupe fini et Z(G) son centre. Si G/Z(G) est cyclique alors G est abélien ! (on notera que G/Z(G) est bien un groupe puisque Z(G) est distingué dans G)

Ce résultat est utilisé dans la démonstration de la proposition suivante: Si G est un groupe d'ordre p^2 avec p premier (c'est en particulier un p-groupe) alors G est abélien.
Merci

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#8 05-02-2021 21:46:03

pentium mix
Membre
Inscription : 27-10-2020
Messages : 155

Re : algèbre 1

G/z(G) cyclique veut dire qu'il existe g dans G tel queG/z(G)=<gZ(G)>
pour tout x,y prit dans G , xZ(G) et yZ(G) sont des élément de G/Z((G) donc il existe n et m tel que
xZ(G)=g^nZ(G) et yZ(G)=g^mZ(G)
Comme x et y sont dans ces ensemble, il va exister h et k dans Z(G)tel que
x=g^n.h , y=g^m.k
Tu calcule le produit xy . en partant du fait que les éléments de z(G) sont centraux tu montre que c'est égale a yx

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